函数的最值与值域的求解策略

高慧明

本类问题通常主要考查一些常见函数最值（值域）的求解，类型多，解法灵活.在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系，也可与导数、恒成立等交汇.

函数最值的基本概念：

设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意x∈I，都有f（x）≤M. 存在x0∈I，使得f（x0）=M，则M为函数y=f（x）的最大值.（2）对于任意x∈I，都有f（x）≥M. 存在x0∈I，使得f（x0）=M，则M为函数y=f（x）的最小值.

函数最值的有关结论：

（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.

（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值（最小值）.

求函数最值（值域）通性通法：

解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性.研究函数的单调性时，可灵活采用定义法、复合法、图像法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图像，最后利用数形结合思想，达到求最值、比较大小、解不等式的目的. 求函数最值（值域）通性通法：（1）观察法；（2）利用常见函数的最值（值域）；（3）分离常数法；（4）单调性法；（5）换元法；（6）配方法；（7）基本不等式法；（8）判别式法；（9）有界性法；（10）图像法；（11）导数法.

答题注意：

（1）灵活选择最优方法求函数值域（最值）；

（2）求函数的值域不但要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域对值域的制约作用；

（3）使用基本不等式a+b≥2容易忽視“一正、二定、三相等”；

（4）配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；

（5）用换元法解题时，应注意换元前后的等价性；

（6）使用单调性法要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；

（7）导数法求函数f（x）在[a， b]上的最大值和最小值三步骤：①求函数在（a， b）内的极值；②求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）；③将函数f（x）的极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.