检测刚度非线性对双检测微陀螺灵敏度稳定性影响

郝淑英, 李会杰, 张辰卿, 张琪昌, 冯晶晶, 李 磊

(1.天津理工大学 机电工程国家级实验教学示范中心，天津 300384；2.天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室，天津 300384；3. 天津市非线性动力学与控制重点实验室，天津 300072)

微陀螺仪是一种微传感器，用于测量物体相对惯性空间转动的角速度或者角度，在各种制导航空弹药、微小飞行器、稳定平台、机器人等军事领域和汽车导航、消费电子、移动应用等民用领域有着广阔的应用前景[1]。在微机械陀螺的研究中，陀螺的灵敏度和分辨率的提高始终是人们追求的主要目标[2]。微陀螺仪是基于线性振动理论利用驱动模块与检测模块发生共振从而获得最大的灵敏度为目标设计的，但学者们在研究过程中发现，微电子机械系统中存在着多种非线性因素，如所用特殊材料的非线性、刚度的非线性、静电力的非线性以及挤压气隙阻力的非线性等，这些因素的存在往往会导致线性动力学的设计不精确甚至失效。Braghin等[3]对支撑梁大变形范围的测试结构的非线性振动进行了试验和数值模拟。研究表明，一个简单的非线性集总参数模型足以描述陀螺仪，并证明微陀螺刚度非线性的存在。高嵘等[4]考虑微谐振器空气阻尼力的非线性因素,得到考虑非线性阻尼力的平板振幅值非常接近试验值,验证了非线性阻尼力的存在；文永蓬等[5]指出非线性刚度会造成微陀螺在零角速度附近有较大的输出，即出现明显的零点漂移；刚度非线性特性还会影响闭环谐振电路的稳定性，如果控制电路参数设置处理不好，会出现混沌、分岔等震荡不稳定现象[6-8]。尚慧琳等[9]指出在主共振和较大的载体角速度下，激励频率的变化容易引起微陀螺振动系统的多稳态解、振幅跳跃现象和概周期响应等复杂动力学行为，并指出振幅跳跃现象是一种全局失稳行为，使得微陀螺的测量稳定性和精度遭到破坏。但上述研究仅限于单驱动单检测微陀螺简称单自由度微陀螺。单自由度微陀螺固有的缺陷是极窄的带宽，频率的任何波动均会导致灵敏度极大的波动，在改进微机械陀螺结构设计过程中，提出了通过增加陀螺的机械自由度来提升陀螺带宽和稳定性[10-11]。朱奎宝等[12]设计一种新的三自由度谐振式MEMS陀螺结构,检测方向为双自由度,有效解决了陀螺带宽与检测灵敏度间的矛盾问题,提高了陀螺抗干扰的性能。郝燕玲等[13]研究了多自由度微陀螺的结构参数对其性能的影响，为多自由度陀螺结构参数的选取指明了方向。但在多自由度微陀螺的相关研究中通常在实际的检测输出的表达式中消去科氏力的影响，隐藏了科氏力变化对检测输出的影响，将双检测系统看作相对驱动独立存在的两自由度系统，且对多自由度微陀螺非线性动力学问题的研究还未见报导，尤其由于刚度非线性造成的振幅跳跃、共振频率的偏移对多自由度微陀螺灵敏度的稳定性和带宽的影响很少有报道。

本文以单驱动双检测三自由度微陀螺为研究对象，文中采用解析和数值仿真结合的方法来研究检测一刚度非线性对微陀螺检测方向的幅频曲线、共振频率和微陀螺性能的稳定性的影响规律。首先采用复指数法求解双检测微陀螺的线性稳态响应，并分别绘制考虑和忽略科氏力对检测输出的影响的幅频曲线，进而对比这两种情况来分析科氏力对灵敏度的稳定性和检测带宽的影响。其次，利用多尺度法获得刚度非线性动力学方程周期解的解析形式，继而针对检测一刚度非线性对微陀螺检测幅频曲线造成的复杂非线性现象如何影响微陀螺灵敏度的稳定性和带宽展开具体分析。

1 单驱动双检测微陀螺的工作原理

图1 单驱动双检测微陀螺动力学模型Fig.1 Dynamic model of single-drive double-sense micro-gyroscope

建立该微陀螺动力学方程

(1a)

式中：x,mx,Cx,kx,yi,myi,Cyi,kyi分别为微陀螺驱动方向，检测方向第i自由度的位移、质量、阻尼系数、弹性梁弹性系数，i=(1,2)，Ωz为微陀螺输入角速度;F0为静电驱动力;ω0为激励频率。

(1b)

式(1a)稳态解为x=Axsin(ω0t-φ)，ωx为驱动方向的固有圆频率，其中

(2)

2 模型的线性刚度分析

2.1 检测方向的模态频率

式(1)中微陀螺检测方向的运动微分方程为

式中:M为微陀螺检测方向的质量矩阵；K为刚度矩阵。

2.2 采用复指数法求解方程的解

(3)

求解式(3)可得检测方向第一、第二自由度的幅频方程

(4)

当不考虑科氏力对检测一、二的响应的影响时，对式(4)进行化简即可得此时检测一、二的幅频方程

(5)

式中：ac=2AxΩzω0和fc1=2my1ΩzAxω0，fc2=2my2ΩzAxω0分别为检测一和检测二科氏力的加速度和幅值。

式中：微陀螺参数见表1；幅频响应曲线如图2所示。

表1 微陀螺参数Tab.1 Micro gyro structure parameters

图2 检测方向线性刚度下的幅频曲线Fig.2 Amplitude frequency curve of sense detection under linear stiffness

目前大多数的分析均忽略了科氏力变化对检测输出的影响，即在实际检测输出表达式中消去科氏力因素的影响，将双检测系统看作相对驱动独立存在的两自由度系统[15]，其检测响应只能得到与两个检测模态频率相对应的结果。根据式(5)，文中绘制了这种处理时本文模型检测二的幅频曲线，如图2(c)，从图中可知只有第1和第3两个峰值，且两个峰值之间为平坦区域，学者们据此将带宽定义为1和3两个峰值频率之差的0.54倍，然而，通过本文分析可以直接观察到，图2(b)中的第2个峰值直接影响到该带宽范围内检测灵敏度的稳定性，即在这一带宽范围内不能获得稳定的灵敏度，在驱动频率附近区域微陀螺灵敏度随科氏力幅值的变化而变化。

由以上的分析可知，对于单驱动双检测微陀螺，驱动窄的带宽会对检测的带宽产生影响，只有稳定的驱动输出才能使检测获得稳定的灵敏度及更好的带宽，双驱动双检测微陀螺可有效地解决这一问题。

3 模型的刚度立方非线性分析

当考虑检测方向第一自由度的刚度非线性时，建立非线性动力学方程，ks是检测方向第一自由度的刚度非线性系数，其动力学方程为

(6)

则式(6)化简为

(7)

基于刚度的弱非线性假设，本文考虑小幅振动情况，忽略高频简谐响应，设式(7)第一式的稳定解的形式为y1=B1cos(ω0t-φ1)+ε(0)。令ρ=2ΩzAx,Ωz为输入角速度，令Ωz=1 rad/s。则

(8)

其中，

把式(8)代入式(7)第一式得

(9)

考虑到高维非线性问题的复杂性，这里忽略检测二的非线性仅考虑共振情况下检测一的刚度非线性对检测一及检测二输出的稳定性及微陀螺灵敏度的影响。在这里我们提出一种有效的方法来处理方程的耦合项，将式(9)中包含B1的耦合激励项经过变换化成系统的刚度项和阻尼项的组合形式，由于本文考虑的是摄动法下的一阶近似解，所以耦合激励项的解耦不会引入非线性阻尼项，数值解和解析解的吻合也说明了解耦不会引入非线性阻尼项。由此化简为

(10)

(11)

(12)

则式(11)为

(13)

比较式(13)ε同次幂后得到一组线性偏微分方程

(14)

式(14)第一式的解为y10=E(T1)exp(iω2T0)+cc，cc为y10中表达式的复共轭，其中

(15)

将式(15)代入式(14)的第二式并消除永年项有

(16)

设φ1(T1)=σT1-θ(T1)，分离式(16)的实部虚部并化简得

(17)

为求其定常解，令式(17)右端为零，并展开求得：sinφ1，cosφ1的表达式，又sin(φ1)2+cos(φ1)2=1，消去φ1，可以得到检测方向第一自由度的幅频响应方程为

(18)

其中，

由于，

(20)

式(18)和式(20)即为检测方向第一、二自由度的幅频响应方程，结合数值扫频，利用Mathematics数学仿真软件画出检测方向两个自由度的幅频响应曲线，分别如图3、图4所示。由于系统检测1方向的弹性力为

图3 刚度非线性对检测一幅频曲线的影响Fig.3 Effect of stiffness nonlinearity on the sense 1 amplitude-frequency curve

由图3(a)和图(b)可知，在刚度非线性系数ks较小时，相对线性幅频曲线，非线性曲线只是发生了微小的偏移，和线性结果几乎一致，图3(c)～图(f)表明随着刚度非线性系数ks的加大，幅频曲线非线性程度明显增加，峰值逐渐增大，幅频曲线出现不稳定区域(虚线)，侧弯、跳跃现象，其中虚线部分代表近似周期解的失稳区域，很明显，失稳区域是幅频特性曲线上多解情况的中间解支，即幅频特性曲线上两个垂直切线点之间的虚线部分，此区域上有两个渐近稳定解和一个不稳定解，由于在数值解中只能实现渐近稳定运动，所以，在数值扫频分析中，对渐近稳定运动的跟踪只能按图3(f)中箭头所示的路径进行，从而产生图示的跳跃现象，即当激励频率由低向高变化时检测1的稳态响应由3直接向下跳跃至4，若频率是由高向低变化则检测一的响应将由6向上跳跃至2。

图4为检测二的幅频响应曲线，由图4可知检测二幅频曲线的变化规律与检测一类似。图4省略了刚度非线性忽略不计的情况。

当刚度非线性系数达到1018数量级时(非线性弹性力是线性弹性力的1.9%)，此时刚度非线性的影响开始显现。在图4(a)～图4(d)中非线性刚度系数的量级分别增加了0.3,0.2和0.1个数量级，比较图4(a)～图4(d)可知，随着非线性强度增加系统对非线性越来越敏感，图4(d)(非线性弹性力是线性弹性力的3.9%)的共振频率的偏移量及共振时的幅值相对于图4(c)都显著增加，解跳跃的幅值明显加大，多解的频域范围明显加宽。

刚度非线性系数为1018.6N/m3时，对比线性结果，峰值处的灵敏度增加了40.53%，但峰值处还存在另一远低于峰值的稳态解，非线性系统与线性系统的区分之一是其解存在对初值的依赖性，即微陀螺检测到的信号是哪个稳态解取决于激励频率是增大的走势还是减小的走势。由此可知当刚度非线性达到一定程度时会导致微陀螺灵敏度失稳发生大幅跳跃，失稳的频域范围随刚度非线性的增加而加宽，共振频率的偏移也导致其线性系统所设计的灵敏度及带宽无法实现，由此导致线性系统设计的失效。因此，在微陀螺的设计中应对所设计的微梁的刚度非线性程度有充分的认识，并对其在该刚度非线性下的动力学行为进行分析，方能避免线性系统设计的失效。

图4 刚度非线性对检测二幅频响应曲线的影响Fig.4 Effect of stiffness nonlinearity on the sense 2 amplitude-frequency curve

在驱动方向模态频率处检测一、二属于非共振情况，图5和图6给出了较大的刚度非线性系数的数值解和线性解析解的幅频曲线，从图中可知，非线性数值解和线性解析结果几乎一致，因此检测一刚度非线性的存在并不影响微陀螺检测二方向在驱动模态频率处的响应。

图5 检测一在驱动模态频率附近的幅频曲线Fig.5 Sense 1 amplitude-frequencycurvenear drive modal frequency

图6 检测二在驱动模态频率附近的幅频曲线Fig.6 Sense 2 amplitude-frequencycurve near drive modal frequency

由图7和图8知，在检测二的模态频率处检测一、二幅频曲线受刚度非线性影响不大，可以忽略不计。

显然图4、图6及图8的组合可反映检测一刚度非线性下检测二整体的输出响应曲线的主要特征，该曲线为最终的检测信号，若将图2(b)定义的区带A处做为微陀螺的带宽，显然检测一的刚度非线性较大时会导致微陀螺在较宽的频率范围内灵敏度失稳，且其灵敏度与线性系统的设计值相差甚远。由图4(d)可知当检测一非线性弹性力是线性弹性力的3.9%时(检测一刚度非线性系数为1018.6N/m3)，刚度非线性已对微陀螺灵敏度的稳定时构成严重影响。

图7 检测一在检测二模态频率附近的幅频曲线Fig.7 Sense 1 amplitude-frequencycurve near sense 2 modal frequency

图8 检测二在其模态频率附近的幅频曲线Fig.8 Sense 2 amplitude-frequencycurve near its modal frequency

同理可知检测二的刚度非线性只会导致在检测二模态频率处出现硬化特性，并不影响区带A的检测输出信号。当驱动、检测一、检测二均存在较大的刚度非线性时，检测二的幅频曲线在检测一、二模态频率及驱动频率处都会发生硬化现象，并且由于高维非线性问题的复杂性，其对灵敏度稳定性和带宽的影响将更复杂(后期将开展相关的研究工作)，因此应尽力降低刚度非线性才能保证微陀螺获得高带宽和稳定的灵敏度，大变形引起的几何非线性是产生刚度非线性的主要原因，可以通过改变弹性微梁的结构或尺寸的优化来降低由大变形引起的几何非线性以减弱弹性微梁的刚度非线性。

4 结 论

本文针对一种单驱动双检测三自由度的微陀螺，在考虑科氏力对检测输出影响的前提下对这该复杂动力学系统的线性及非线性动力学特性进行了分析，研究发现：无论是否考虑微陀螺的非线性因素，单驱动微陀螺窄的驱动带宽都会对微陀螺检测带宽及微陀螺灵敏度的稳定性产生影响；检测一刚度非线性导致检测一、二幅频曲线均在检测一模态频率处出现恶劣的振幅跳跃现象，严重造成检测一和驱动模态频率范围之间的灵敏度失稳，即微陀螺性能的稳定性遭到破坏；微陀螺灵敏度的稳定性及失稳的带宽范围对刚度非线性十分敏感，当刚度非线性达到某一值时其微小的增长都会严重影响微陀螺的灵敏度的稳定性并使失稳的带宽范围显著增加，如此会导致线性系统设计的失效。当驱动、检测一、二均存在较大的刚度非线性时，检测二的幅频曲线在检测一、二模态频率及驱动频率处将都会发生硬化现象，并且由于高维非线性问题的复杂性，其对灵敏度稳定性和带宽的影响将更复杂，因此应尽力降低刚度非线性才能保证微陀螺获得高带宽和稳定的灵敏度。