基于数学智慧课堂的立方体截面问题的探究

袁志强

摘要：智慧课堂是信息技术与学校课程整合的一种新形式。本文以立方体的截面为载体，引导学生借助智慧课堂平台，以小组合作的形式，探究正方体截面边数并寻找相应的推理依据，培养学生直观想象、数学抽象及逻辑推理的数学素养。

关键词：数学智慧课堂；正方体；截面

信息技术的突飞猛进，正悄悄地改变着学校的教育教学方式。智慧课堂就是信息技术与课程融合的一种必然结果。智慧课堂由于其具有资源获取的便捷性、信息传输的高效性、学习反馈的个性化等诸多优势在越来越多的课堂中得到了应用。[1]

例如在2017年版的《高中数学课程标准》中，附录的案例11是正方体截面问题，问用一个平面截正方体，截面的形状是怎样的？在传统的课堂中，这个问题的探究难以实现，但是在数学智慧课堂中，这个问题的探究与解决将会变得直观与省力。

一、探究正方体的截面边数及其缘由

由于这个问题比较复杂，牵涉的问题比较多，所以先可以用智慧课堂的分组功能将学生分为A、B、C三组，不同的组分别解决不同的问题。教师先给不同的组分配不同的任务，在此之前，师生要共同明确探究的基础：因为正方体各个面都是平面，所以截面一定是平面多边形。

基于此，最少边数的多边形是三角形，所以给A组同学布置的问题是：如果截面是三角形，那么有几种类型的三角形？为什么？可以是直角三角形吗？给B组分派的问题是：如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？给C组分派的任务是：还可以是五边形吗？六边形呢？还可以是更多边数的多边形吗？为什么？

在探究的初期，学生尽管明白研究的起点，但由于缺乏直观性，还是感觉到难以下手。注意到这一情况，教师于是向学生的手持终端推送了正方体截面的空间动态几何课件，学生可以在自己的平板上拖动切割面，观察截面的形状及成因。学生根据探究的情况，作出自己小组问题的图形，给出自然语言的解释，并将本组的结论发回到大屏幕（如下图）。在思维分享阶段，学生之间可以在平台上互相提问与回答，教师可以选取典型问题要求回答者面向全班口头阐述，训练学生数学思维的口头表达。

二、探究的深入

第一轮问题的解决并不意味着探究活动的终止，学生在第一轮探究活动中获得的经验能否应用到新的问题情境中还有待检验。

例1：（2018年高考试题全国卷Ⅰ理数）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为|（ ）

A. B. C. D.

答案：A

学生有了刚才解决问题的经验，不难得出这样的截面刚好是过正方体“体对角线”中点且与体对角线垂直的那个截面（正六边形）。教师要及时向学生追问“为什么这时候最大？”

对于相似度高的問题，学生回答得还算比较顺畅。但对于相似度没那么高的问题，又将如何探究呢？

例2：如图，正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 的平面截该正方体所得截面记为 ，则下列命题正确的是__________.

①当 时， 为四边形；

②当 时， 为五边形；

③当 时， 为六边形；

④当 时， 为菱形.

答案|：①②④

这其实是最初探究问题的一个变式。学生借助智慧平台以及刚才探究中获得的经验进行探究，如果某些学生有困难，可让其在平板上用相应的软件制作成动态模型，动态地观察截面的形状。最终要求学生以手写的形式作出相应问题的图形，并能口头加以解释。

三、反思探究过程

在新的高中数学课程标准中，核心素养是一个至关重要的概念。数学学科核心素养是“数学课程目标的集中体现”，也是“具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度、价值观的综合体现”。[2] 在此次探究课中，学生从最初的不知从何下手，到仔细观察动态课件，这是在培养学生的直观想象素养。观察到正方体的截面呈现不同的形态，学生将从不同位置的动态图形中，抽象出问题的实质，即空间中点线面的位置关系问题尤其是面面相交问题，接着用空间中点线面的知识进行逻辑推理，寻找“为什么”会这样的理论依据，培养学生进行严格的演绎推理的思维习惯，这样就培养了学生数学抽象与逻辑推理素养。

本节课是在高中立体几何全部内容学习完成后进行的一次探究活动。数学探究活动有时并没有一个清晰的逻辑思路，往往是一边探究一边寻找解决的思路，当然也没有现成的答案可用，答案可能就存在于探究过程的结束阶段，是冥思苦想、苦苦求索最终获得的胜利果实。

参考文献：

[1]孙曙辉，刘邦奇.智慧课堂[M].北京：北京师范大学出版社，2016：49-52..

[2]中华人民共和国教育部.高中数学课程标准.2017.