电磁场相对论效应及载流直导线中带电粒子受力分析

杨浩　李裔　兰小刚

摘要：从带电粒子运动激发的电磁场出发，讨论了不同参考系下电磁场的转换关系.在此基础上，着重研究了不同参考系中，载流直导线激发的电磁场以及导线上带电粒子的受力情况.并对电场与磁场的统一关系及相对论效应进行了定量分析.

关键词：电场；磁场；相对论效应

基金项目：四川省研究生教育改革创新项目（445001）；西华师范大学教学改革与研究项目（XJJGXH2017111）.

作者简介：杨浩（1996-），女，四川广元人，在读研究生.

通讯作者：兰小刚（1982-），男，四川内江人，博士，副教授，硕士生导师，研究方向：物理学科教学论研究.

电场与磁场的产生都与电荷有关，静止的电荷激发静电场，运动的电荷激发磁场.在不同的参考系中，电荷的运动情况不同，电磁场会有不同的表现.特别是考虑相对论效应，在不同参考系下，电、磁场间相互转化会比较复杂，而且该相对论效应也不可忽略.本文从运动带电粒子激发的电磁场出发，讨论了不同参考系下（本文涉及的参考系均为惯性参考系，以下同）电磁场的转换关系.在此基础上，详细研究了载流直导线激发的电磁场，分别计算了载流导线上正（负）离子的受力.并将考虑相对论效应的结果与低速近似结果进行比较，自然回归到经典物理的公式，最后对所得结果以及电磁场的本质进行讨论.

1不同参考系下运动电荷激发的电磁场

当场源电荷（q）运动时，在其周围运动的电荷（q′）不仅受到与自身运动速度无关的力（电力），还会受到与自身运动速度大小和方向有关的力（磁力），这两种力都是通过场来传递的.显然，运动电荷周围不仅存在电场，还存在磁场.而物理学描述静止或运動都是相对的，在相对场源电荷（q）静止的参考系（S）中，只能观测到电场的存在；但在相对场源电荷运动的参考系（S′）中观测，不仅存在电场，还存在磁场.说明电场和磁场具有相对性.与洛伦兹变换关系（说明了时间与空间的联系）类似，电场与磁场也存在相对论联系.若以E→（Ex，Ey，Ez），B→（Bx，By，Bz）和E→′（E′x，E′y，E′z），B→′（B′x，B′y，B′z）分别表示在S系和S′系（以速度u沿S系的x轴正向运动）的电场和磁场，它们之间的变化关系为[1]：

E′x=Ex，E′y=（Ey-uBz）/1-u2/c2

E′z=（Ez+uBy）/1-u2/c2

B′x=Bx，B′y=（By+uEz/c2）/1-u2/c2，

B′z=（Bz-uEy/c2）/1-u2/c2 （1）

可见，电场、磁场构成统一体，即电磁场.相对于不同参考系，电磁场的六个分量具有不同的表现形式，其大小也存在差异.应该注意的是，由于存在电荷，但不存在所谓的“磁荷”，所以造成电现象与磁现象并不对称.正是由于这种非对称效应，可将磁场理解为电场的相对论效应.爱因斯坦也曾经指出：“我曾确信，在磁场中作用在一个运动物体上的电动力不过是一种电场力罢了.正是这种确信或多或少直接地促使我去研究狭义相对论”[2].

总之，同一电荷系统的电场和磁场的物理表现随参考系的不同而发生变化.电磁场本质上是电场和磁场的统一实体，但磁场（或磁效应）是电场（或电效应）的相对论效应.接下来，我们将通过一个具体的物理模型，来定量研究二者之间的相对论效应.

2不同参考系中载流直导线激发的电磁场

我们以两条平行放置的载流直导线这种简单的物理模型为例，如图1所示.竖直固定平行放置的两条相同长直导线1和2相距为a（a为长直导线的长度），两导线通有方向、大小都相同的稳恒电流 导线中的正离子均静止，且单位长度导线中正离子的电荷量为λ；形成电流的导电子以速度v0沿导线向下匀速运动，单位长度的导线中导电电子的电荷量为-λ.已知：单位长度电荷量为η的无限长均匀带电直导线在距其r处产生的电场的强度大小为E=2keη/r，其中ke是常量；当无限长直导线通有稳恒电流I时，电流在距导线距离为r处产生的电场的强度大小为B=2kmI/r，其中km是常量.

我们将结合狭义相对论中的长度收缩公式来讨论常量ke和km的比值关系.

我们选取参考系S（S′）分别相对导线中正（负）离子静止，如图1所示.参考系S中，导线中的正离子静止，而电子以速度v0向下匀速运动；参考系S′中，导线中电子静止，而正离子以速度v0向上匀速运动

21不同参考系中载流直导线对正离子的作用

在S参考系中，如图1（a）所示，导线上正负离子所带电荷和为零，即λ=λ++λ-=0.考虑导线1对导线2中带电量为q的正离子的作用，有Fe += 0；S参考系中，导线1中虽有导电电子运动，并激发磁场（B=2kmI/a），但导线2中正离子相对静止，故正离子受到磁场力Fm+=qv1+B=0.

但在S′参考系中，如图1（b）所示，电子静止，正离子向上运动，考虑相对论尺缩效应：相对观测者运动的载流导线，其上的电荷线密度分布会变大.因此S′参考系中，导线的单位长度带电量不再正负抵消为零，从而在空间激发电场.因此在S′参考系中，导线1对导线2中正离子产生作用力（电场力）.相对参考系S′静止的电子，其占据的长度比在S参考系中运动时占据的长度l会伸长为l-' = l/1-v20 c2[3].由于总的电荷量不随参考系变化，有λ′l′=λl.因此，S′系中的负电荷线密度为-λ- ′ = λ1-v20 c2.反之，参考系S′中正离子以速度v0向上匀速运动，相比在S系中静止时占据的长度l会缩短为l+′= l1-v2oc2，同理可得，S′系中正电荷密度为λ +′ = λ/1-v20 c2.

因此，考虑相对论长度收缩效应后，在参考系S′中，导线1单位长度带电量不再为零，其大小为

λ′ = λ +′ + λ-′ = λv2oc21-v20c2（2）

则其在导线2处产生的电场强度为

E′= 2ke λ'a = 2ke λv2o c2a1-v20 c2（3）

（3）式中，净电荷密度λ′>0，电场强度方向向右.则导线2中带电量为q的正离子会受到方向水平向右的电场力，其大小为

Fe +′ = qE′ = 2ke qλv20 c2a1-v20 c2（4）

另一方面，在参考系S′中观测，导线1中的正离子以速度v0向上匀速运动，形成电流

I′= λ +′v0 = λvo 1-v2o c2（5）

此电流在距离导线a处激发磁场的磁感应强度为

B′ = 2km I′a = 2km λvo a1-v2o c2（6）

其方向垂直纸面向内.则导线2中电荷量为q的正离子会受到方向水平向左的磁场力为

Fm +′ = qv0 B′ = 2km qλv20 a1-v20 c2（7）

通过以上分析可见，在S参考系中观测导线2中的正离子不受力作用，但S′参考系中，导线2中的正离子既受电场力又受到磁场力作用，显然二者合力应该为零（因正离子均保持静止或向上匀速运动状态）.故F′=F′e+-F′m+=0，化简可得ke/km=c2.

当然，我们直接利用无限长带电导线激发的电场以及无限长载流导线激发磁场的表达式为

E=λ2πε0r=2keλr，B=μ0I2πr=2kmIr（8）

（8）式中，ε0，μ0分别为真空介电常数与磁导率，二者均为与参考系无关的常数.也可得到ke与km的比值为ke/km=1/μ0ε0=c2[4].这和我们考虑相对论效应得到的结果也是一致的.

至此，通过以上分析我们看到：不同参考系下，同一条载流直导线激发的电磁场是不同的.为了进一步理解电磁场的统一性与相对性，我们不妨继续讨论，分析上述过程中导线2中的负离子受力情况.

22不同参考系中载流直导线对负离子的作用

如图1（a）所示，在S参考系中，负离子-q以速度v0竖直向下运动，导线1中有方向向上的稳恒电流I，则载流直导线1在距离a处产生的磁场强度大小为B=μ0I/2πa，方向垂直纸面向里.因正负离子带电量相抵消，不激发电场，故作用在导线2中的负离子q上的力（洛伦兹力）大小为Fm=qvB=qvμ0I/2πa方向水平向左，指向导线1.

在S′参考系中，如图1（b）所示，导线1中导电电子静止，正离子向上运动形成方向向上的电流，在距离a处产生磁感应强度大小为B'=μ0I′2πa的磁场.但此时导线2中的负离子（-q）相对静止，故不受洛伦兹力的作用.但考虑尺缩效应，S′系下导线1中正负电荷之和为λ' = λv20 （c2·1-v20 c2），其将在距离a的导线2处产生电场.电场强度方向水平向右，大小为E′=λ′/2πε0a，则作用在导线2中的负离子（-q）上的电场力大小为Fe′=qE′=qλ′/2πε0a，方向水平向左，指向导线1.

接下来我们将不同参考系下的电力和磁力进行化简，由c-2=ε0μ0以及电流定义I=λv0，可得

Fm = qλv202πε0 ac2，Fe′ = qλv2o2πε0ac2 11-v2oc2（9）

（9）式结果表明，两个参考系下，电力和磁力大小几乎相等.至少，在低速情况下Fm=Fe′.实际上，我们再回顾（4）式和（7）式，也会发现类似结果.因此无论作用对象是正离子还是负离子，不同的参考系中，导线对一沿其匀速运动的带电离子作用力（电力或磁力）是相同的，电和磁可以理解为“对同一事物的两种不同观察方法而已”.电和磁本质上仅仅是两种不同的表现形式而已，它们最终也会给出相同的物理结果.

当然，（9）式Fe′中多出的因子项，可以通过考虑不同参考系下力的作用效果来证明，二者产生的物理结果是等效的.若作用一段时间后的横向动量（设横向坐标为y）为ΔPy=FΔt，ΔPy′=F′Δt′.利用 （9）式，可得ΔPy=ΔPy′，即在不同參考系下，载流直导线所激发出的电场和磁场对一沿导线匀速运动的带电离子的作用效果完全一致.

3总结与讨论

由以上分析可得载流直导线在运动参考系S′中激发的电磁场为

E′ = λ′2πε0a = Iv0c22πε0a1-v20c2，B′ = μ0I2πa = B（10）

显然，在低速情况下，载流直导线在相对于观察者沿导线方向以速度v0运动时激发的电磁场，相当于它本身（S系中）激发的静磁场与它的线电荷密度变为λ′后激发出的静电场的叠加.同理，线电荷密度为λ的无限长均匀带电直线在相对于观察者沿长度方向以速度v0运动时激发的电磁场，就相当于它本身激发的静电场与它形成的电流I=λv0时激发的静磁场的叠加.

此外，单位长度载流导线所受电、磁力的大小也存在显著差异.上节讨论的导线1、2中单位长度间的磁力大小为Fm=μ0λ1v1λ2v2/2πd，电力大小为Fe=E1λ2=λ1λ2/2πε0d.将二者大小进行比较，有Fm/Fe=ε0μ0v1v2=v1v2/c2.假设金属中电子漂移速度大约为10-4数量级[5]，则Fm/Fe大约为10-24.也就是说载流直导线间的电力远大于磁力.但由于导线中正负带电粒子所受的电力大小相同、方向相反，电力被抵消.所以分析两根载流导线间的作用力时，仅仅考虑磁力即可.

总之，同一电荷系统的电场和磁场的物理表现随参考系的不同而发生变化.

参考文献：

[1]郭硕鸿.电动力学[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]张三慧.大学基础物理学[M].北京：清华大学出版社，2007.

[3]费恩曼，莱顿，桑兹.费恩曼物理学讲义：第二卷[M].上海： 上海科学技术出版社，2013.

[4]赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]马基茂，毛泽普，周杰，颜洁.一个均匀电场漂移室和电子漂移速度的测量[J].高能物理与核物理，1985（01）：1-5.