长度为奇素数的完备高斯整数序列构造法

李玉博，陈邈，刘涛，张颖



长度为奇素数的完备高斯整数序列构造法

李玉博1,2，陈邈1,2，刘涛1,2，张颖1,2

（1. 燕山大学信息科学与工程学院，河北 秦皇岛 066004； 2. 河北省信息传输与信号处理重点实验室，河北 秦皇岛 066004）

提出一类基于分圆类构造完备高斯整数序列的方法。分别通过有限域()上的2阶和4阶分圆类，构造得到自由度分别为3和5的高斯整数序列，序列长度为奇素数，该序列具有良好的完备自相关性能。该构造方法解决了以往利用分圆类计算复杂度较高，不易求解的问题，简化了序列的生成方法。该序列在无线通信中具有良好的应用前景。

完备高斯整数序列；伪随机序列；分圆类；离散傅里叶变换

1 引言

为避免分圆类构造高斯整数序列时方程组不易求解的问题，本文根据完备序列的离散傅里叶变换均为恒模序列的性质，在频域上进行构造，得到完备高斯整数序列。首先利用分圆类在时域上得到几乎完备序列，将其转换到频域得到谱序列，然后通过在零点处进行补值的方式，使其成为恒模序列，并经离散傅里叶逆变换得到完备高斯整数序列。该方法与文献[16]中的构造方法相比，简化了构造高斯整数序列所需满足的条件，避免了非线性方程组的求解问题，使构造方法更加简便。但采用本文的构造方法所构造出的完备高斯整数序列的长度有限制，只能构造出序列长度为奇素数的完备高斯整数序列。

2 基本概念

若为偶数，其2阶分圆数为

表1 f为奇数时的4阶分圆数

表2 f为偶数时的4阶分圆数

通过上述分圆类可以构造几乎完备序列，且这类几乎完备序列经过离散傅里叶变换之后的谱序列具有除零时刻外，其余时刻的模值均相等的性质。通过在零时刻进行补值，使其满足恒模条件，对构造后的谱序列进行离散傅里叶逆变换可以得到完备序列。

其中，为模值。

3 完备高斯整数序列构造

本节介绍了两种构造方法，分别利用2阶分圆类和4阶分圆类构造自由度为3和5，序列长度为奇素数的完备高斯整数序列。首先通过经典分圆类的方法构造出几乎完备序列，然后利用DFT得到其谱序列，最后将该序列构造为恒模序列，并将序列进行IDFT，得到时域序列。由引理4可知，所得时域序列即为完备高斯整数序列。

构造法1

由上述讨论可知，引理5成立。

证毕

定理1通过2阶分圆类产生的几乎完备序列转换到频域，并采用零点补值的方法使其成为恒模序列，根据再经IDFT转换到时域，由引理4得到自由度为3的完备高整数序列。

自相关值分布如下。

构造法2

证明 分以下两种情况讨论。

将式(18)中的进行化简得

同理可以求出为

综上可得

自相关函数值分布如下所示。

4 分析与对比

通过对上述构造方法所得结果进行总结，可以得到如表3所示结果，表3中列举了一些自由度分别为3和5、长度不同的完备高斯整数序列所需满足的和的值。

表3 不同长度完备高斯整数序列

该方法与文献[16]的方法相比明显简化了序列的生成方法。在文献[16]中分别给出了利用2阶和4阶分圆类构造完备高斯整数序列的方法及其满足条件，但是在文中利用4阶分圆类构造完备高斯整数序列时只给出了所需满足的方程组，而没有进行求解。当为奇数时，4阶分圆类构造高斯整数序列所需满足的条件如式(24)所示，当为偶数时，4阶分圆类构造高斯整数序列所需满足的条件如式(25)所示。

5 结束语

本文提出了一类完备高斯整数序列的构造方法。该方法通过2阶和4阶分圆类能够构造出自由度为3和5、序列长度为奇素数的完备高斯整数序列。根据完备序列经DFT得到的谱序列为恒模序列的性质，首先采用分圆类构造序列()，通过对其谱序列在零时刻进行补值，使其成为恒模序列。再将该谱序列进行IDFT得到时域序列，则该序列即为完备高斯整数序列。该方法与同类方法相比具有构造方法简单的优点，通过对序列在频域进行操作，解决了利用分圆类构造高斯整数序列时计算量大、非线性方程组不易求解的问题。从目前情况来看，具有高自由度的完备高斯整数序列构造方法并不多，本文方法仅得到了自由度为3和5的完备高斯整数序列。因此研究具有更大自由度的完备高斯整数序列是一个有意义的方向。

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Constructions of perfect Gaussian integer sequences of odd prime length

LI Yubo1,2, CHEN Miao1,2, LIU Tao1,2, ZHANG Ying1,2

1. School of Information Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China 2. The Key Laboratory of Information Transmission and Signal Processing of Hebei Province, Qinhuangdao 066004, China

Constructions of perfect Gaussian integer sequences (PGIS) based on the cyclotomic classes were proposed. The PGIS with degree 3 and 5 were constructed respectively from the cyclotomic classes of order 2 and 4. The presented sequences with odd prime length have ideal autocorrelations. The methods solved the problem that the traditional constructions of PGIS from the cyclotomic classes have high computational complexity. As a result, this kind of sequences will be useful in the applications of wireless communications.

perfect Gaussian integer sequence, pseudo-random sequence, cyclotomic classes, discrete Fourier transform

TN911.2

A

10.11959/j.issn.1000−436x.2018230

李玉博（1985−），男，河北衡水人，博士，燕山大学讲师，主要研究方向为编码理论、序列设计、信息处理。

陈邈（1993−），男，河北唐山人，燕山大学硕士生，主要研究方向为无线通信、序列设计。

刘涛（1987−），女，河北秦皇岛人，燕山大学博士生，主要研究方向为组合编码、信息安全、序列设计。

张颖（1997−），女，山西平定县人，本科生，主要研究方向为无线通信、编码理论。

2017−10−24；

2018−09−26

李玉博，liyubo6316@ysu.edu.cn

国家自然科学基金资助项目（No.61501395）

The National Natural Science Foundation of China (No.61501395)