一种外转子开关磁阻电机的数学模型

陈涛 胡鑫 向中凡 李波 陈永忠

（1.成都产品质量检验研究院有限责任公司 2.西华大学机械工程学院）

0 引言

目前，电动汽车被视为替代燃油汽车的主要汽车类型。电动汽车一般有电机集中驱动和四轮独立驱动等方式。本文针对电动汽车轮毂驱动所采用的外转子开关磁阻电机进行数学建模分析。

外转子电机具有直接驱动轮胎、减少齿轮箱、传动轴等优点。开关磁阻电机具有结构简单、成本低、控制灵活以及效率高等优点[1]。外转子开关磁阻电机采用双凸极结构，定、转子均采用硅钢片叠压而成。与传统内转子开关磁阻电机不同的是：外转子开关磁阻电机采用内定子-外转子模式。正如文献[2]中对外转子开关磁阻电机所描述，将产生磁力线的主绕组布置在内定子上面，磁力线通过气隙、外转子齿和外转子磁轭与内定子形成闭合磁路。

众所周知，磁路可以由电感L来进行描述，而电感主要取决于绕组匝数，磁路几何形状与尺寸，磁路材料的磁导率。在电磁能量转换装置中，气隙将可动磁路部分和其他部分分离。大多数情况下，因为铁磁材料的磁导率高，磁路的磁阻Rm主要为气隙的磁阻。因此，大多数能量储存在气隙中[3]。因此，外转子开关磁阻电机的数学模型主要的目的是在外转子转动时选取其中一个瞬态，对气隙磁导的分割求取，进一步达到电感和电磁转矩的求取分析。

文献[4-5]提出了一种无轴承开关磁阻电机的数学模型，该数学模型主要内容是基于直线磁路和新型椭圆磁路分割来分析气隙磁导，保证了电机在最大电感位置电磁转矩和电感的连续性。同时也描述了沿α和β方向径向悬浮力之间的耦合关系。

本文通过磁路和气隙的对比分析，外转子开关磁阻电机的气隙分割采用文献[5]的分割方式，通过得到外转子转动过程中电感与转动角的关系式，得到电磁转矩和转动角的关系式。最后用Matlab进行图形描述，并计算转动过程中的电磁转矩。

1 外转子开关磁阻电机的运行原理

外转子开关磁阻电机作为电动汽车轮毂驱动电机，需要减小转矩脉动，因此本文以四相12/16结构的外转子开关磁阻电机为例，在忽略掉因电机在转动过程中沿α和β方向的微弱位移，理想状况下，图1中是外转子开关磁阻电机A相导通的原理图，实线表示电机内定子四极绕组电流ia产生的对称四极磁通。从图中可以看出，外转子开关磁阻电机与内转子开关磁阻电机一样，由麦克斯韦应力理论可知，外转子开关磁阻电机依然遵循最小磁阻原理。因此四极磁通中大部分磁力线在气隙中是弯曲的，弯曲的磁力线中的切向磁力线产生使电机外转子沿固定方向转动的转矩，而切向磁力线所产生的力因方向相反而抵消掉[6]。

图1 外转子开关磁阻电机运行原理

2 外转子开关磁阻电机的数学模型

2.1 数学模型设定条件

电机的数学模型是对电机理论分析最重要的一个环节，本文将在内转子开关磁阻电机的磁场分析的基础上，对外转子开关磁阻电机的气隙磁路进行分割，推导出适用于求取外转子开关磁阻电机气隙磁导的计算方法。然后根据气隙磁导求取电感和电磁转矩表达式，达到数学建模的目的。因此，在本次数学模型中，12/8三相外转子开关磁阻电机采用有轴承结构，三相轮流导通。以图1中的A相绕组进行分析，与气隙长度相比，忽略外转子的径向位移；忽略定子交链转子槽底的磁通；定义外转子与定子极正对时的角度为0度，此时边缘磁通为0；忽略实际电机中出现的磁饱和现象以及漏磁通；外转子顺时针旋转转角为正。

2.2 电感表达式的求取

图2 A相外转子开关磁阻电机等效磁路图

文献[4]提供了一组求取某一相绕组电感的表达式：

Lma就是相绕组的自感，P=P1+P2+P3+P4。

在本文中讨论外转子开关磁阻电机时，由于忽略外转子的径向位移，因此，气隙长度不受外转子径向影响，所以气隙磁导P1、P2、P3、P4相等。在内定子主绕组自感远远大于互感，因此互感可以忽略不计[7]，所以仅需要计算内定子绕组上的自感。由式（1）简化为：

2.3 外转子开关磁阻电机的气隙磁导

根据对外转子开关磁阻电机的有限元分析而产生的磁力线分布图，内定子绕组产生的气隙磁路的边缘磁力线接近于椭圆[2,8]。因此本文以图1中画出磁感线的A相绕组为例，对其中一个绕组按照椭圆进行磁路分割。如图3所示，该气隙磁导分为三部分组成：外转子与内定子之间重叠部分气隙磁导为Pc和边缘磁路产生的气隙磁导Pa和Pb。由于磁路分割的对称性，Pa与Pb近似相等，即A相的P1满足下列公式：

图3 A相一绕组的气隙磁路分割

将A相一绕组分割如图3所示的三部分，从外转子开关磁阻电机磁路有限元分析[7]和无轴承内转子磁路分布的对比分析，外转子开关磁阻电机的椭圆磁力线的短半轴位于外转子齿上，长为t，而长半轴位于内定子齿上，长度为ε+kt。磁路系数k是转角θ和气隙相关的函数[5]，可以表示为：

前面提到，有轴承外转子开关磁阻电机中，电机外转子径向位移忽略不计，即理想状态下，分析外转子转动角度与气隙磁导的关系，如图4所示，θ2表示电机外转子与内定子转动时重叠角度的一半，而θ则表示外转子与内定子中心所形成的未重合的部分的夹角。

图4 A相一绕组气隙与定、转子间数量关系

在图4中，满足如下几何关系：

由图3可以看出，将电机外转子与内定子之间重合的部分磁路近似于直线磁路，则这一部分的气隙磁导Pc满足下列表达式：

式中，h为外转子电机中内定子轴向内定子铁心长度；μ0为空气中的磁导率；r为外转子内径。

上述Pa=Pb，因此dPa的截面积ds可以近似表示为：

表示两平行面磁路长度，而由于Pa和Pb部分是椭圆部分，因此引入椭圆周长计算公式求得

将式（7）带入式（8）可得气隙磁导Pa和Pb部分。

由式（10）和式（3）可得：

由式（11）可得外转子开关磁阻电机的电感表达式：

2.4 外转子开关磁阻电机的数学模型计算理论电磁转矩

开关磁阻电机的电磁转矩的求取一般采用虚功原理，大多数能量储存在气隙中。因此，电磁转矩必然与气隙磁场储能有关，作用在外转子上面的电磁转矩可由气隙磁场储能W对θ求偏导，进行近似计算[3]。

由于忽略电机内定子绕组互感，因此A相绕组齿极下面气隙磁场能量为W为：

综合式（10）和式（11）可以得到：

由式（12）可得：当θ≥0时，

当θ＜0时，

得到外转子开关磁阻电机的电磁转矩的公式：

当θ≥0时，

当θ＜0时，

对于A相瞬间电磁转矩在一个开通周期内的平均电磁转矩为：

3 外转子开关磁阻电机数学模型输出

本实验通过普通开关磁阻电机推演，得到电机外转子外径为262mm。参考开关磁阻电机相关参数设计[9]。外转子部分减去轭高和齿高，外转子内径为198mm，内定子外径为197mm。气隙长度为0.5mm。为了与Ansoft Maxwell2D静态场仿真结果对比，内定子铁心长度设置为1m。绕组匝数为27匝。因此，利用Matlab中的m函数对外转子开关磁阻电机中A相绕组导通时产生的电感进行计算所得到的结果如图5、6所示。

4 结束语

由于外转子开关磁阻电机某一相绕组导通时磁路的有限元分析，与无轴承开关磁阻电机的磁路有限元分析相似，因此引用无轴承开关磁阻电机分割磁路的方法，对外转子开关磁阻电机进行磁路分割，该方法能够很好地计算外转子开关磁阻电机理想状况下的气隙磁导，解决外转子开关磁阻电机电感和电磁转矩无公式化问题，还精确地得出外转子开关磁阻电机在理想状态下具有相对恒定的电磁转矩。为外转子开关磁阻电机实际设计提供理论依据。

图5 A相导通时，电感La随角度θ的变化曲线

图6 Maxwell2D静态场电感曲线仿真结果