盲数和GM(1,1)模型在性能退化产品可靠性分析中的应用

盖炳良，滕克难，王浩伟，陈 瑜，孙 媛

(海军航空大学，山东 烟台 264001)

0 引言

如何表达和处理不确定信息是可靠性工程面临的不可避免的挑战[1]，而性能退化过程可视为一个部分已知、部分未知的灰色系统，因而灰色系统理论可应用于性能退化可靠性分析，且GM(1,1)对小样本建模的有效性[2]使之可有效解决小样本、贫信息的建模困难。因而本文将盲数和GM(1,1)等灰色理论方法引入性能退化可靠性分析中。

盲数实质是建立区间灰数和可信度。不考虑概率分布时，常采用自然断点法构建区间灰数，用判断矩阵法[3]或直接用数量百分比建立可信度，这类方法的局限在于盲数的建立完全受限于现有数据。考虑概率分布时，文献[4]考虑故障率服从浴盆曲线，将区间总长度设为故障率最大值与最小值的差值，再等分确定各区间灰数，可信度设为区间故障率对应时间与寿命周期的比值；文献[5]假设退化量服从正态分布，由“3σ”性质确定区间灰数和可信度。

三参数威布尔分布应用范围广泛，其参数估计方法较多：文献[6]以秩回归方法获取初始值，采用非线性最小二乘法得到参数估计值；文献[7]也以秩回归方法获取初始值，并用神经网络和遗传算法优化；也有采用灰色模型方法进行参数估计的，GM(1,1)建模条件的优点是小样本建模，通常只需4～10个样本[8]；文献[9]采用GM(1,1)直接建模方法对三参数威布尔分布进行参数估计，认为若形状参数大于1，则拟合度好，精度较高，但没有考虑GM(1,1)建模中原始序列和累加序列的区别，且没有考虑初始条件的优化和参数估计值的进一步优化等。

因此，本文通过模型选择择优确定概率分布，并用灰数排序方法优化可信度；假定各测量时刻点的可靠度值，在服从三参数威布尔分布条件下，采用GM(1,1)建模方法估计和优化参数。

1 基于盲数的测量时刻点可靠度

按照盲数定义[4]构建退化数据盲数和失效阈值盲数。

1.1 退化数据盲数

假定产品性能退化服从单调递增(单调递减同样适用)，性能退化试验采用平衡测量，即不同样品的测量数据是在多个时刻同时测量得到。设tk为第k次测量时刻，记测量时刻为t1

以Xk为tk时刻的性能退化数据，X·k表示tk时刻退化数据区间灰数，αj为Xk在区间灰数X·k中的可信度，α为总可信度，X·k∈g(I)，nx为盲数阶数，则tk时刻的性能退化数据的盲数定义为

(1)

1.2 失效阈值盲数

设L为失效阈值，Lo为失效阈值区间灰数，βj为L在区间灰数Lo的可信度，β为总可信度，Lo∈g(I)，nl为盲数阶数，因而，失效阈值盲数定义为

(2)

1.3 tk时刻可靠度

若在tk时刻产品退化量Xk超过产品阈值l，则称为产品失效，产品在tk时刻的可靠度为

R(tk)=P(Xk0)

(3)

由式(1)～式(3)得盲数可靠度算式为

R(tk)=P(Xtk0)=
P(h(L)-f(Xk)>0)

(4)

R(tk)=P(φ(γ)>0)。

(5)

盲数运算时，可能出现区间交叉，设li=[ldn,lup]∈Lo，Xi=[xdn,xup]∈X·k，当出现式(6)中任意一种情形时，就认为出现区间交叉，即

(6)

li-Xi>0，表示lup-xdn>ldn-xup≥0；li-Xi=0，表示lup-xdn≥0>ldn-xup，则

(7)

可见处理区间交叉时式(7)折合了区间中大于0的可信度，折合系数λ按均匀分布来计算，若考虑概率分布，则不宜按均匀分布来计算[10]。

假设退化量和失效阈值相互独立。图1中显见xdn

图1 灰数排序Fig.1 Interval grey number ranking

当xdn

(8)

当ldn

(9)

当xdn

(10)

当ldn

(11)

2 产品可靠度

经盲数运算，求得测量时刻可靠度值，形成一个离散可靠度序列{tk,R(tk)},k=1,2,…,M。假设产品寿命服从三参数威布尔分布，即

(12)

式中，τ,m,η分别是位置参数、形状参数和尺度参数。式(12)经变换可表示为

(13)

令Rk=ln[-lnR(tk)],则(Rk,tk)满足

(14)

下面基于非等间距GM(1,1)模型对τ,m,η进行参数估计。

2.1 非等间距GM(1,1) 参数估计

由微分方程解的性质可得

(15)

(16)

则由定义可得，原始序列模拟值为x(0)(tk)=(x(1)(tk)-x(1)(tk-1))/Δtk={cexp(-atk)[1-exp(aΔtk)]}/Δtk，k=2,3,…，M。

2.2 三参数威布尔分布参数估计

比较式(14)和式(16)，易得

(17)

3 实例

取在80℃条件下某GaAs激光器工作电流随时间变化的百分比数据，详细数据可见文献[12]，试验样本个数为15，每250 h测试一次，至4000 h为止，阈值为10。

3.1 择优选择tk时刻的退化量分布

参考已有文献对同一批数据分析时假定过的分布模型，选择正态分布、威布尔分布、Gamma分布和对数正态分布4种分布作为待选模型，对各测量时刻的退化量分布进行AD检验。

图2 tk=3500 h时的性能退化模型选择Fig.2 Degradation model selection when tk=3500 h

图2所示为当tk=3500 h时的检验结果，可见当tk=3500 h时对数正态分布AD值最小，是最优分布。

3.2 tk时刻的产品可靠度

表1给出了未修正折合系数λ时各测量时刻的可靠度，同时对比了修正后的结果，其中250～1750 h的可靠度为1。

表1 各测量时刻基于盲数的可靠度 (α=1,β=1)

3.3 产品可靠度

(18)

表2 建模精度比较

表3 三参数威布尔分布参数估计值

4 进一步讨论

考虑其他2种方法。方法1：由盲数方法求得测量时刻点可靠度，再按极值分布进行参数估计，获取可靠度函数。方法2：即文献[12]方法，认为每个测量时刻点退化量服从正态分布，并采用极值分布估计参数。

表4是3种方法的比较，可见，本文方法拟合精度最高，平均寿命为4 819.7 h。

表4 3种方法结果分析比较

图3所示是3种方法所得的可靠度曲线图，本文方法得到的可靠度曲线介于方法1和方法2得到的可靠度曲线之间。

图3 可靠度曲线Fig.3 Reliability curves

5 结束语

本文主要研究盲数和GM(1,1)建模等灰色系统方法在性能退化产品可靠性分析中的应用。首先采用模型选择，运用盲数理论求得各测量时刻的可靠度，然后采用GM(1,1)建模方法对三参数威布尔分布进行参数估计，求得可靠度函数。通过3种方法在GaAs激光器退化数据上的应用比较，验证了本文方法的合理有效性。主要结论如下：

1) 采用灰数排序方法修正灰数区间交叉时的可信度值，避免均匀分布造成的误差；

2) 基于GM(1,1)的三参数威布尔分布参数估计方法，避免了反复迭代，简单明了，且相比于极值分布近似方法具有更好的拟合精度；

3) 下一步如何将灰色系统方法应用于多元退化、退化与突发竞争失效等性能退化过程，有待进一步深入研究。