三角函数最值问题的分类探究

☉江苏省启东市第一中学 邢华妹

三角函数最值问题处在代数、三角、几何等知识的交汇处，解法灵活多变，能力要求高，是高考的常考点.在求解时，若能根据题目特征，合理选择方法则可以快速解题.本文主要从y=asinx+b，y=Asin（ωx+φ），y=asin2x+bsinx+c类型问题等几个方面进行论述，以供参考.

一、y=asinx+b型

题中仅含正弦或余弦一种，且次数为1，这一类问题相对比较简单，通常求解方法是将正弦或余弦函数转化成一次函数，然后利用三角函数的有界性进行解决.

例1 已知y=asinx+b，ymax=3，ymin=-1，求a，b.

分析：设t=sinx，则问题可转化为在t∈［-1，1］上，求一次函数y=at+b的最值问题.

所以a=±2，b=1.

评注：将三角函数转化为在一定区间上求代数函数最值是常用的方法，还可以尝试运用数形结合，转化为斜率问题等方法来进行求解.

二、化成y=Asin（ωx+φ）的形式

1.y=asinωx+bcosωx+c型

评注：此类题目看起来较为复杂，难以厘清思路，巧妙变形转化后，再结合三角函数有界性进行求解，问题则迎刃而解.需要说明的是：若函数是条件函数，则常需利用三角函数的图像来解题.

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型

先降次，再整理，然后化为上述类型，最后求y=Asin2x+Bcos2x的最值，含有sinx，cosx的二次式为该类显著特征.

例3已知函数（fx）=2cos2x+sin2x+m（m∈R）.

评注：题目看起来较为复杂，但厘清思路后发现，此题的关键：把问题化归为f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式.常见为：f（x）max=|A|+k，f（x）min=-|A|+k，但如果已附加x的取值范围，通过图像来解决为最佳办法.

特点是一个分式，分子、分母分别有正、余弦的一次式.不难发现，几乎所有的分式型都可以通过分子、分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种，多半化归为y′=Asinx+Bcosx型解或用数形结合法（常用直线斜率的几何意义）.

三、y=asin2x+bsinx+c型

使用换元法，化成二次函数，设t=sinx，则y=at2+bt+c，再求其在t∈［-1，1］上的最值.

例5 求函数y=-2cos2x+2sinx+3的值域.

解析：原式化为y=-2（1-sin2x）+2sinx+3=2sin2x+t∈［-1，1］.由二次函数图像（此略）可知，当；当t=1时，ymax=5.

四、y=sinx+ 型

图1

五、y=asinxcosx+b（sinx±cosx）+c型

例7 求函数y=4sinxcosx+3（sinx+cosx）+3的最值

评注：sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα相互制约与关联.知其一，则能够求出其二，令t=sinx-cosx换元后，则可使用配方法、函数的单调性、重要不等式等法去求函数的最值.

总结规律，摸索经验.在解决三角函数的最值相关问题时，常会出现一些忽视题设条件、概念模糊、方法不当等问题，导致求解困难.基于此，在解决相关问题时，要注意三角函数的变形方向、正（余）弦的有界性、灵活选择方法、多多练习，确保考虑周全，准确无误，答题精准.W