基于多重分形的沥青混合料空隙分布特征分析

周兴林，李庆丰，肖神清

(武汉科技大学 汽车与交通工程学院，湖北 武汉 430065)

0 引 言

沥青混合料内部空隙的分布特征是影响其力学性能的关键因素[1]。通过CT扫描及图像处理等技术对空隙率进行分析，是沥青混合料细观研究的热点。沥青路面的高温稳定性、低温抗裂性、水稳定性、抗滑性等直接受沥青混合料的空隙状态影响[2-10]。因此，寻求沥青混合料空隙的表征方法，对于提高沥青混合料的路用性能，实现可视化矿料级配设计具有重要的研究意义。

E. MASAD等[11]通过CT扫描技术研究沥青混合料空隙分布状况，其研究表明，旋转压实(SGC)方法成型的沥青混合料试件，其内部空隙沿试件高度方向呈现出“两端大，中间小”的分布趋势，而压实方法是影响空隙分布的重要因素。A.BOZORGZAD[12]、王聪等[13]通过图像分析等方法证明了采用两端压实的方法可使空隙分布更均匀。裴建中等[14-15]采用多种参数描述空隙的竖向分布特征，结果表明，参数沿深度方向分布规律较为一致。张倩[16]、吴文亮等[17]验证了空隙率层位呈两头大中间小的分布趋势，证实了沥青混合料微观结构的非均匀性。郭乃胜等[18]提出3段法分析空隙分布规律，并基于此建立了沥青混合料空隙率预测方法。L.B. WANG等[19]证明神经网络可检测到数据之间的隐藏关系，前馈神经网络可有效估计混合料的空隙率。上述文献中的空隙率指标如空隙等效直径、空隙面积、空隙数量等不能全面描述空隙分布的状态，空隙率指标相同的试件，其空隙分布情况和力学性能均可能存在较大差异。

研究表明，沥青混合料的级配组成、集料分布以及集料组成的边界轮廓和空隙形状都在一定尺度范围内呈现出统计意义上的自相似性[20]，即具有分形特性。分形是定量描述自然界不规则现象或物体的一种数学语言，它用于表示在每个尺度范围内都显示重复的图像。文献[7、21]提出用空隙分形维数表征空隙分布的复杂程度，分形维数越大，则空隙分布越复杂。但单分形维数只能反映出物体的全局特征而不能表征局部奇异性[22]，且不同方法求出的分维数也不相同。因此，笔者提出应用多重分形理论从局部刻画空隙分布的奇异性，拟采用数字图像技术对沥青混合料试件的CT扫描图像进行处理，分析空隙分布的多重分形特性，定量描述空隙分布的复杂程度，并研究空隙特性对沥青混合料劈裂强度的影响。

1 多重分形谱计算方法

多重分形是基于单重分形定义的由多个标量索引的单一度量的集合。它通常由广义分形维数和多重分形谱表示。多重分形谱则是由随着多重分形测度变化的一组连续数值组成的曲线。

1.1 多重分形谱的参数

单分形的参数只有分形维数，用D表示。而多重分形的参数则分为[23]：α、Δα、f(α)、Δf、f(α)max。为方便计算，将分形体整个图像的尺度设为1，用边长为ε(0<ε<1)的正方形网格覆盖图像。奇异性标度指数α反映了每个小方格的奇异程度，用于表征分形体的复杂性，它也可以看做是某个小方格的分形维数，即局部分维。不同α组成的序列用于表示分形体的多重分形维数，即多重分形谱f(α)。多重分形谱谱宽Δα=αmax-αmin,它可以从局部描述路面构造分布的非均匀性。多重分形谱的最大高差Δf=f(αmin)-f(αmax),它则是从空隙集中与分散的角度局部反映空隙率分布的不均匀性。

1.2 计算方法

把经过图像处理后的二值图像划分成边长为ε的N(ε)个单元[24]，那么第i个单元的概率测度为：

(1)

式中：∑Bi(ε)为所有单元的黑色像素之和；i=1,2,…，N(ε)。

构造q阶矩下的配分函数：

(2)

在无标度自相似区域中，χq(ε)与ε之间存在如下幂律关系:

χq(ε)～ετ(q)

(3)

式中：τ(q)为log2χq(εi)用log2εi函数拟合后得到的直线斜率，称为质量指数。

对τ(q)和f(α)进行勒让德变换：

(4)

式中：f(α)为多重分形子集的分形维数连续谱，在单重分形中，是一个定量，在多重分形中，其是单峰曲线。

以奇异性标度指数α的角度[25],如果区间[α,α+dα]中，存在概率测度值为P的单元个数为Ni(α)：

Ni(α)～ε-f(α)

(5)

那么有：

(6)

式中：f(α)为α的分维数。

将上述公式整理可得：

(7)

(8)

由式(7)可知，多重分形谱谱宽Δα用于表征整个分形体概率测度分布不均的水平，其值越大，表明物体表面分布的越不均匀。

由式(8)知，多重分形谱两端高差Δf用于统计最大概率子集数量Nαmin与最小概率子集数量Nαmax的比值。若Δf>0,也就是Nαmin>Nαmax，则多重分形谱的图像为“左钩状”；若Δf<0，意味着Nαmin

由式(2)知，q=0时，所研究的物理量则与概率测度无关，多重分形谱图像上存在一个峰值fmax，由式(4)可知，fmax=-τ(0)=D，D为豪斯多夫维数，也即计盒分形维数，它是描述研究对象填充空间的能力[26]。

2 沥青混合料空隙分布的多重分形特性

2.1 数字图像处理

通过飞利浦BrillianceTM型医用CT机获取沥青混合料试件扫描图像，CT机有效检测厚度为10 mm，空间分辨率为0.5 mm×0.5 mm，设定扫描间隔为3 mm。舍弃两端因CT数异常[13]而亮度异常的图片，选取4 cm × 4 cm的区域，像素为512×512。通过特征识别、图像分割、边界提取处理等过程对CT图像进行预处理，使得空隙与集料和沥青胶浆有明显区别。根据图像的灰度直方图确定分割阈值，将扫描图像二值化。二值图中，黑色为空隙部分，白色为集料与沥青胶浆。

图1 沥青混合料CT扫描图像二值化过程Fig. 1 Binarization of CT scanning image of asphalt mixture

采用医用CT横向扫描沥青混合料试件，获取AC-13、AC-16、AM、AT试件扫描图像。表1中，选取各类型沥青混合料的一张CT图像，列出空隙分布二值图。采用MATLAB函数计算面空隙率。

表1 沥青混合料试件CT图像二值图Table 1 CT binary image of asphalt mixture specimen

2.2 空隙分布的多重分形特性

以路面空隙二值图中的黑色像素作为研究对象，以“0”表示，同时用“1”代表白色像素。使用MATLAB软件求得概率测度Pij(ε),然后解算配分函数χq(ε),做出ε-χq(ε)的双对数坐标图logε-logχq(ε)。如图2，图2(a)和图2(b)是AC-13和AM的logε-logχq(ε)图，阶数以-8～8为例。由图可知，ε=26～29，也就是盒子像素为26～29时，二者有良好的线性关系。

图2 ε-χq(ε)的双对数坐标Fig. 2 Double-logarithmic coordinates of ε- χq(ε)

分析图2发现，在q值一定的情况下，logε-logχq(ε)近似为线性关系，这表明空隙分布具有分形特征；q值不同，斜率也不相同，这证实了CT扫描二值图像有多标度特性。因此，沥青混合料空隙分布有多重分形特性。

要使二值图中的黑色像素的多重分形谱更加稳定，可继续计算，求得f(q)和α(q)随q值变化的曲线。由图可知，当q<0时，f(q)随q递增；当q>0时，f(q)随q的变化变得平缓；当q=0时，f(q)有最大值。α(q)随q递减，曲线两边的变化趋势较为平缓。这说明，Δα的值会随着q的取值范围扩大而变大，但这种变化会随着q越来越大而变小，此时多重分形谱趋于稳定。若q值每变大或变小1，Δα相应的变化率低于0.2%，谱宽不再发生变化，此时即可确定q的取值范围[27]。

图3 α(q)和f(q)随q变化Fig. 3 Variation of α(q) and f(q) changing with q

2.3 结果及讨论

q阶矩取-10～10时，各混合料的多重分形谱均趋于稳定。4种类型的多重分形谱图像如图4。图4(a)为AC-16上4层的多重分形谱；图4(b)为AC-16中4层的多重分形谱；图4(c)为AC-16下4层的多重分形谱；图4(d)为AC-13、AC-16、AM、ATB试件中面层的多重分形谱。相同类型的沥青混合料空隙分布多重分形谱大致相似。图5为4种类型沥青混合料的多重分形谱参数和面空隙率拟合图。图6为12张AC-16沥青混合料CT扫描图的多重分形谱参数图。

图4 沥青混合料空隙分布多重分形谱Fig. 4 Multifractal spectrum of asphalt mixture void distribution

多重分形谱峰值fmax即为黑色空隙部分的分形维数D0，其反映了空隙填充空间的能力。对面空隙率和fmax进行线性拟合、多项式拟合和对数拟合，如图5。

图5 面空隙率与多重分形谱峰值fmax 拟合Fig. 5 Fitting of the surface void and the peak value of multifractal spectrum fmax

从图5中可知，对于空隙率较小的AC、ATB和空隙率较大的AM，多重分形谱的峰值fmax都会随混合料的空隙率变大而增大，也就是说空隙分布情况会随着沥青混合料空隙率变大而变复杂，空隙的分形维数也会变大。由此说明，多重分形谱的峰值fmax可定量描述空隙率的大小及分布复杂程度。对于3种拟合方式，考虑空隙填充空间的极限情况，即空隙率为100%时，多重分形维数应为2。线性拟合中，取空隙率为100%时，fmax=3.877 4；多项式拟合中，fmax=-9.107 9；对数拟合中，fmax=2.086 6，因此，对数拟合最能准确刻画面空隙率与多重分形谱峰值的关系。

多重分形谱谱宽Δα可从局部反映概率分布的非均匀性，Δα越小，则证明空隙分布更均匀。基于谱宽Δα能对空隙分布进行定量化表征。而分形维数高差Δf表示的是最大概率子集数量与最小概率子集数量之比，也就是黑色空隙区域像素多的单元数目与少的单元数目之比。Δf越大，表明黑色像素较集中的单元数目相对较稀少的单元数目越多，间接反映出了分布的不均匀性，AC-16沥青混合料多重分形谱参数如图6。

图6 AC-16沥青混合料多重分形谱参数Fig. 6 Multifractal spectral parameters of AC-16 asphalt mixture

由图6可知，Δα与Δf沿AC-16试件高度方向变化规律基本一致，但变化趋势较复杂，无明显规律。这是因为多重分形谱参数只能从局部反映空隙分布的不均匀程度，而不能反映空隙率的大小。

3 空隙特性与劈裂强度的关系

以沥青混合料AC-16为例，研究空隙特性对沥青混合料劈裂强度的影响，试验在15 ℃和25 ℃下进行。

成型马歇尔试验，有效试件10个，空隙分布特征不同的沥青混合料在15、25 ℃时的劈裂试验结果如表2。

表2 15、25 ℃劈裂强度试验结果Table 2 Splitting strength test results at 15 ℃, 25 ℃

表2中Δα′为试件分层扫描后所求得的多重分形谱宽度均值，fmax′为分层扫描后所求得的多重分形谱峰值均值。这两个参数可表征试件空隙特性。从表2中不难看出，Δα′和fmax′与劈裂强度均没有明显关系，单从这两个参数并不能反映劈裂强度的大小。因为Δα′仅能反映空隙分布的均匀性程度，而劈裂强度还与空隙率有关，空隙率对劈裂强度的影响不容忽视。为此，根据沥青混合料空隙分布的特性，考虑以能反映空隙率大小的fmax′为调整系数对Δα′进行调整，提出参数Δα″=fmax′·Δα′，Δα″与劈裂强度之间的关系如图7。

由图7可知，参数Δα″与劈裂强度之间具有良好的线性关系，劈裂强度随Δα″的增加而单调递减。这表明，在其他条件一定的情况下，劈裂强度受空隙率与空隙分布的综合影响，空隙率越大，空隙分布均匀性越差，则劈裂强度就越小，提出的参数Δα″可以很好的预测沥青混合料的劈裂强度。

图7 15 ℃与25 ℃下Δ α″与劈裂强度关系Fig. 7 Relationship between Δ α″ and splitting strength at 15 ℃ and 25 ℃

4 结 论

1)沥青混合料空隙分布具有多重分形特性，其谱参数能从不同角度描述空隙分布情况。

2)多重分形谱峰值fmax与面空隙率具有良好的对数回归关系，fmax越大，即空隙部分的分形维数D0越大，空隙率也就越大越复杂。

3)多重分形谱宽Δα与两端高差Δf分别从直接和间接角度反映了空隙分布的均匀程度，沥青混合料试件内部空隙沿高度方向无明显变化规律。

4)提出的参数Δα″=fmax′·Δα′与劈裂强度之间具有良好的线性关系。