IIR数字滤波器在MATLAB中的设计与实现

黄 波

（作者单位：成都大学信息科学与工程学院）

1 研究背景

数字滤波器可以允许某些频率的信号基本无损通过，而另外一些频率的信号会受到较大抑制，甚至被滤除，所以数字滤波器可以被看作是一个选频电路，凡是有能力进行信号处理的装置都称为滤波器[1]。

IIR（Infinite Impulse Response）数字滤波器对信号进行过滤、检测与参数估计等处理。当前，数字滤波器的设计有不少成熟的高级语言程序，但它们的设计效率较低，无法进行可视化操作，不可以修改参数等缺陷，MATLAB软件的出现，为数字滤波器的深入研究和广泛应用，搭建了一个高效有利的平台[2]。

2 模拟滤波器

巴特沃斯滤波器的特点是，通频带内的频率响应曲线可以实现最大限度的平坦，没有高低起伏，而在阻频带内则可以实现缓慢下降至零。在振幅对数的对角频率波特图上，巴特沃斯滤波器可以从某个边界的角频率开始,其振幅可以随着角频率增加而逐渐变少，最终趋向于负无穷大。图1为当N=2，5，10，20时的巴特沃斯频率图。

图1 巴特沃斯频率图

图2 切比雪夫频率图

切比雪夫模拟滤波器的特点是，在通频带内或阻频带上可以实现频率响应幅度等波纹波动，切比雪夫模拟滤波器在过渡带上比巴特沃斯模拟滤波器衰减得更快，但其频率响应幅频特性比后者要陡峭一些。切比雪夫模拟滤波器和理想中的数字滤波器的频率响应曲线之间的误差可以做到最小，但无法避免的是，它在通频带内依然存在幅度上的波动。如图2所示，当N=2、3、7时的切比雪夫频率图。

3 IIR数字滤波器设计及仿真

数字滤波器就是对不同频率的数字信号可以实现从频域完成信号之间分离的时序逻辑电路，或者是设计程序。我们这里所说的数字滤波器都是一个离散的LTI系统。离散LTI系统模型如图3所示。

图3 离散LTI系统模型

其中，x（n）、y（n）分别为数字系统的输入序列和输出序列，H（E）是系统的特性函数（转移算子）。

IIR数字滤波器设计过程包括：首先按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标；其次用一个因果稳定的离散系统的系统函数H（z）逼近此性能指标；然后利用有限精度算法实现此系统函数，如运算结构、字长的选择等。

数字滤波器的设计过程，其实是寻找一组系数{b,a}，进而尽量逼近要求的频率响应，让其在性能上可以满足预设的技术指标，所以数字滤波器其本质是在Z平面寻找一个合适的H（z）函数。因为IIR数字滤波器的单位响应是可以无限长的，因此，数字滤波器的设计关键其实是将H（S）函数转变为H（Z）函数[3]。

图4 巴特沃斯数字带通滤波器的幅度与相位特性曲线

图5 切比雪夫数字带通滤波器的幅度与相位特性曲线

下面首先实现基于巴特沃斯法直接进行IIR数字滤波器设计。巴特沃斯滤波器的幅度特性是通频带内平坦，阻频带内是单调下降的。用于设计阶次为N，截止频率为Wn的低通数字滤波器，截止频率Wn取值在0～1，下面是巴特沃斯数字带通滤波器的幅度与相位特性曲线，如图4所示。通过分析，可以得到以下结论：巴特沃斯滤波器的幅度特性是通频带内平坦，阻频带内是单调下降的。

下面接着实现基于切比雪夫法直接设计IIR数字滤波器。切比雪夫滤波器的通频带是等波纹的，而在阻频带是单调下降的。利用cheby1函数直接设计数字滤波器其波形如下，如图5所示（其中，Ws=200Hz，Wp=100Hz，Rp=3dB，Fs=1000Hz）。通过分析，可以得到以下结论：切比雪夫滤波器在通频带是等波纹的，而在阻频带是单调下降的。

4 结语

IIR数字滤波器在诸如语音信号处理、图像信号处理视频信号处理以及视频信号处理等应用领域都得到了非常广泛的应用。本文根据IIR数字滤波器的工作原理，实现了IIR数字滤波器的快速设计方法，进而在MATLAB软件环境中完成了IIR数字滤波器的快速仿真设计，同时在设计过程中对比了滤波特性，也可以随时改变相关参数，进而实现数字滤波器设计工作的最优化处理。