不确定天气海况下班轮航线船期规划鲁棒优化

李明宇

(上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240)

国际集装箱运输主要由班轮承担，班轮航线与船期设计是班轮运输企业的核心运营任务之一。在规划阶段，决策者面临货物运输需求、天气和海况、航行时间与成本等因素的不确定性，所规划出船期与航线在实际情况下表现常常不如人意。因此研究船期与航线规划对提高班轮运输企业的盈利水平和风险控制具有重要意义。

在海运网络设计中，尽管不确定因素广泛存在，有限的研究却集中于特定的不确定因素。Alvarez等[1]研究了在散货船购买与销售价格及租船费不确定条件下的多阶段船队规模与部署问题，采用鲁棒整数规划方法使船队净现值达到最大；Meng等[2-3]进行了一系列应用不确定规划理论解决航运网络设计问题的研究。他们综合了样本平均近似法、线性化技术和分解技术设计算法，解决了一个考虑港口操作和等待时间长度不确定的班轮船期设计问题，以基于亚-美-欧航线的大量数值实验证实了模型的有效性。此后，他们还研究了一个需求不确定下班轮船队设计与调度问题，获得了对集装箱运输需求变化敏感性低的最优解；Shyshou等[4]针对不确定锚泊操作时间，采用离散事件模拟法提出了一个成本最低的船队规模模型；Oh等[5]考虑燃油价格不确定下的燃料购买与航速优化问题，构造基于情景的混合整数线性规划模型将航行成本控制在最低。

然而，以上研究均未考虑天气和海况对航行时间的影响。船舶通航受环境影响极大，无论是风、浪、流或浮冰都会使船舶滞航甚至需要使用第三方服务才能如期航行，否则只能保持极低航速，面临货物迟交的违约风险，但第三方服务需要高昂的佣金，规划阶段就需要考虑这一问题。保守地规划船期可以避免上述问题，但会失去对货主的吸引力，进而订单量减少收入降低。鉴于当前航运市场不景气，航运公司抵御风险能力弱的情况，本文选用鲁棒优化理论进行研究。首先提出了考虑不确定天气和海况对航行时间和航行成本影响，以及迟到罚金和时间敏感需求的班轮航线与船期的确定性模型，并针对两种不确定性集合，分别转化为可解的鲁棒对等式，通过案例分析对模型进行了验证，并给出了模型应用的建议。

1 问题描述与数学模型

1.1 问题描述及假设

在集装箱班轮规划中，班轮公司需要依据对航行成本、订单量和通航条件的预测评估，选择挂靠港以及挂靠顺序，并公布相应的船期。天气与海况的不确定性对航行成本、时间及订单量都有影响。但是航行成本与订单量分别与预期航行时间有关：预期航行时间越长，成本越高，越不可能延迟交付货物并支付罚金，但所获得的订单量越少。因此，天气与海况的不确定性在本文中指航行时间的不确定性，通过将预期航行时间转化为航行成本和订单量，班轮航线与船期规划的目标就是实现班轮运营收益的最大化，即在满足载货能力的条件下，合理选择挂靠港，预测订单量、装载计划和在各港口的迟到罚金支付情况，使得包括运输收入、航行成本和迟到罚金在内的航线总运营收益最大化。

问题的基本假设如下：(1)航行成本可视为航行时间的线性函数。航行成本主要来自于燃料成本。根据文献[6]，对特定航段而言，总航行成本可近似为航行时间的线性增函数；(2)两港口之间的时间敏感需求量可视为两港间公布船期之差的线性减函数；(3)在任一港口迟到的罚金恒为常数。上述假设的目的是保持模型的线性结构，保证模型可解，随着研究深入，未来会松弛掉上述假设。

1.2 参数与变量

决策变量：xij为航段指示器，若港口(i,j)相邻xij=1，否则xij=0；ypq为起点和终点分别为(p，q)的货物量；Ti为港口i宣告到港时间；ei为港口i处准时性指示变量，若在港口i处迟到则ei=1，否则ei=0；dpq为起讫点为(p，q)的期望需求量；wj为港口j处准时性约束的对偶变量；zij为对实际不确定系数ζij约束的对偶变量。

1.3 确定性模型

基于以上问题假设和参数定义，建议考虑天气海况不确定性的班轮航线船期规划模型如下

目标函数：

(1)

约束条件：

(2)

(3)

yuq≤duq,u=p,…q-1

(4)

(5)

ypu≤dpu,u=p+1,…q

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Mei≥ti-Ti，i=2,…n

(11)

(12)

(13)

(14)

(q-p)(Tq-Tp)≥tpqxpq∀p,q

(15)

T1=0

(16)

Rana等[7]的研究提供了班轮航线规划的一个基础模型，本文在其基础上加入船期规划、时间敏感需求及迟到罚金等因素进行了改进。目标函数(1)为航线总收益最大，其中第1项为总收入，第2项为总航行成本，第3项为总迟到罚金；式(2)保证经过航段(i,j)的货物不超过载重能力；式(3)(4)确保给定港口q可到达并且运达该港的货物不超过实际需求；相似地式(5)(6)表示离港情况；式(7)至(9)为经典的网络约束；式(10)描述在港口j的到达时间与之前每一航段的航行时间之间的关系；式(11)在实际到港时间晚于宣告到港时间时向二元变量ei赋值1，表明在港口i处迟到；式(12)联系港口(p,q)间的宣告到港时间与需求；式(13)将航行成本分为固定成本和与航行时间有关的可变成本之和；式(14)表示总航行成本；式(15)表示在港口间的宣告到港时间差不少于在其上的宣告航行时间；式(16)将起点时间初始化为0。

不确定因素出现在式(1)(10)(11)和(14)中，然而(10)和(14)严格意义上不是约束条件，而是符号的转化，不需处理。(1)和(11)应当被改写为鲁棒优化对等式。

根据Ben-Tal等[8]的研究，鲁棒优化对等式取决于不确定性集的性质。本文讨论两种典型的集合。

1.4 有界不确定性下的鲁棒优化对等式

假定不确定系数在区间：

此时，它等于：

(17)

类似地，式(1)可改写为：

对式(1)应用“最大化最小值”标准，即最大化最差情况的净利润。对此模型，最差的情况即所有实际航行时间达到上限，导致需求量降低和航行成本的增加，总收益最少，因此(1)可转化如下

(18)

因此，班轮航线船期规划模型在有界不确定性下的鲁棒优化对等式组成包括：目标函数(18)，受(2)～(10)，(12)～(17)式约束。

1.5 总量受限的有界不确定性下的鲁棒优化对等式

1.4节中的模型对不确定性完全免疫，但是由于所有最坏的情况都被考虑在内，其结果过于保守。事实上所有最坏情况很少同时发生。更常见的情景为不确定因素的波动水平总量已知，也就引出了总量有限的有界不确定性，参考文献[9]进行处理。

由于ζpq是不确定参数，它的存在使模型无法被直接求解，在此对ζpq应用对偶理论，根据强对偶定律，上式可被转化为如下形式

(19)

(20)

其中wj,zpq≥0

式(19)和(20)为式(11)在总量有界不确定性下的鲁棒优化对等式。

类似地，式(1)可转化为

(21)

总量受限的有界不确定性下班轮航线船期规划模型包括目标函数(21)，约束条件(2)～(10)，(12)～(16)，和 (19)～(20)。

移除不确定因素后，模型转化为确定性混合整数线性规划问题。

2 案例分析

2.1 背景信息

由于温室效应的影响，极地冰区融化加速，目前北极航道的可通航时间已延长至五个月左右，北极航道的通航成为现实，为航运业尤其是班轮运输业带来了新的机遇和挑战。北极航道具有极高的商业价值，开发经由北极航线的班轮航线会成为航运界的下一个热点，也受到了学术界的关注。李振福等[10-11]针对我国获取北极航线的权益以及开发北极航线的态势进行了一系列研究，指出了开发北极航线对我国的重要意义并分析了开发策略。然而北极航线具有浮冰多且浮冰位置不确定，天气与海况恶劣等特点，除了对船舶的安全航行带来威胁外，还会使船舶由于应对恶劣天气与海况花费额外的航行时间与经济成本，这一情况与本文的问题描述相符，因此以北极航道为背景进行案例分析。

依据文献[12]所列出的北极航线沿线关键港口，确定候选港口依次为：Shanghai， Provideniya，Pevek，Tiksi，Dikson Island，Archangel，Murmansk，Rotterdam。宣告航行时间由港口之间距离与安全航速14 kn的比值确定。其中港口距离采用的是航运圈商贸网上的数据，因为其海图计算距离时考虑了北极航线。其他参数设置按照下文的规则构造而来，一方面是由于相关航线目前尚未正式营运，没有实际数据；另一方面由于本文为单船班轮航线模型，而统计数据往往是针对整条航线的，难以获得使用本模型的数据。值得指出的是，案例分析主要为了演示模型的应用，当北极航线投入运营后，读者可代入实际数据使用本模型。一些学者[13-15]对北极航线的经济性进行了分析，但这些分析仍然是基于预测的，本文在参数设置上也参考了以上研究。

剩余所需港口数据包括：运价系数、基本需求量、时间敏感需求系数及罚金。为八个港口在以上四个维度分别赋予高或低的特性，其中对运价系数和罚金而言，假定两者同步，因为收益伴随着风险。属性设置见表1～表3。

表1 港口基本属性Tab.1 The Table for port characteristics

表2 港口属性数值表 Tab.2 Quantative values for the indicators of port characteristics

对于与两港信息有关的量，以基本需求为例，若两者均高则为2 500 TEU；两者均低，则为1 500 TEU；不论顺序，只要一高一低，则为2 000 TEU。特别地，对于运价而言简单地认为其与时间成正比，则运价为两港间宣告航行时间与运价系数的积。对表3而言，起始港在列，终点港在行。

表3 航段内宣告航行时间Tab.3 Nominal sailing times for voyage segments

δ取0.4，f1主要为港口使费，平均为$20 000；f2主要为燃油费，航速14 kn时消耗的燃油为45 t/d，以燃油费600 $/t计算则每日燃油费可近似为$30 000。船舶吨位设为4 000 TEU。

表4 基本案例的航线与准时性Tab.4 Routes and punctualities from the basic case

以下讨论三种模型，包括确定性模型——即实际航行时间完全等于宣告的航行时间；有界不确定性下的鲁棒优化对等式和总量受限的有界不确定性下的鲁棒优化对等式。

2.2 基本案例

在这一案例中，所有的 被设为0，即在总量有限的有界不确定的鲁棒优化模型中不存在不确定因素，主要计算结果如表4所示。

由上可见，有界不确定模型提供的解最保守，盈利也最少，即当完全无法确定天气与海况时，倾向于保守安排船期，牺牲部分利润以规避罚金。而当所有的不确定性总量被设为0时，总量受限的有界模型的结果与确定性模型的结果完全一致，这也说明了模型的正确性。而在准时性方面，没有任何一个航段预期迟到，可以看出罚金对准时性的约束，即设置高昂的罚金可以有效改善班轮准班率偏低的问题。在选址问题方面，2、4两港始终未被选中，其共同点是运价低，并且时间敏感需求系数大。那么，任何对船期的延长都会引起需求量的严重下跌，进而降低原本就不多的收益，所以这些港口对风险的抵御能力较差，在航线中被放弃。

按照上文的分析可能会产生确定性模型获得的解盈利性更强的错误印象，这是因为模型所提供的目标函数是期望收益。在确定性模型中，由于所有的不确定性因素都没有被考虑在内，只考虑理想状况，预期结果自然更积极。下面将对比分析在最恶劣条件下三个模型的优劣。

表5 最恶劣条件下的基本案例盈利情况Tab.5 Actual profits of the solutions from the basic case under the worst conditions

表5记录了在最恶劣条件下，三种模型所提供的解的表现。可以看出，这时利润水平最高的反而是有界不确定性下的鲁棒模型，它所提供的解可以完全保证准时性。而对于确定性模型和总量受限的有界不确定性模型，由于完全没有预留缓冲时间，因此对天气与海洋状况不确定性造成的航行时间变动没有任何抵抗能力，而且由于连锁效应，只要在一个港口延误，在之后的港口中必然也会延误，所累积的不良后果非常严重，使得实际获得的收益远远低于期望的收益。这时便体现了，在规划阶段考虑不确定性，预留缓冲时间所带来的好处，即尽管在最恶劣的条件下也能保证合适的收益。对比有界不确定性模型与确定性模型的期望收益，发现前者牺牲的收益仅仅为几十万美元，而后者在最恶劣条件下损失的收益却高达上百万美元，是牺牲收益的数倍。鲁棒性固然牺牲了一部分收益，但远少于风险来临时的损失。

2.3 不确定性总量上限的变化分析

不确定性总量上限由于累积作用应该单调递增，为了探讨其对模型表现的作用，接下来，它会被依次设置为加速型，稳定型和减速型，分别对应消极型，普通型和积极型的管理者，即对不确定性总量的随着时间变化的趋势预测不同。积极性管理者认为前几个港口海况变化剧烈，但是随着航程的进行可以采取措施减少不确定性因素的影响，航行时间会逐渐趋于正常，即不确定性总量上限以减速型增长。消极型管理者在规划航线时，认为越靠后的港口由于未知因素更多不确定性逐渐累积而加速增长。而普通型管理者认为全程不确定性上限增速保持恒定。在本文提出的模型中，港口j处的不确定因素个数为(j-1)j/2。增速型总量上限按照总个数的0, 10%, 20%,…70%比例增长，即{0，0.1，0.6，1.8，4，9，12.6，19.6}；那么稳定型的总量上限均以50%计，为{0，0.5，1.5，3，5，7.5，10.5，14}；而减速型的上限则为{0，0.7，1.8，3，4，4.5，4.5，4.5}。计算结果如表6所示。

表6 不确定性总量上限变化下的航线与准时性Tab.6 The routes and punctualities from the varying uncertainty budget case

首先，期望收益最高的属于加速增长型，其次为减速增长型，最少的是平稳增长型。造成这一现象的原因在于对位置靠前的港口的不确定性的估计，因为它们持续出现在对后面所有港口的约束中，那么其的权重应当高于其他港口。由于时间的累积效应，只要在前序港口迟到，在后续港口一定会继续迟到，因此，位置越靠前的港口，对后续港口的准时性影响越大，重要性也就越高。加速增长的不确定性总量上限实际上在前几个港口是相对乐观的，所以不确定性的效果没有那么严重。第二，对船期规划问题而言，减速增长模型的船期最保守，并且，所有航段上都严格遵守船期，以避免罚金。而在航线规划问题上，港口2和4依然未被选中。接下来考察这三种不同的不确定性总量上限的设置在不同实际情况下的表现(表7)。

表7 不确定性总量上限变化下的实际准时性Tab.7 The actual punctualities from the varying uncertainty budget case

对比不同实际情况下三种模型的表现，可以发现由于提供的解是整体上最保守的，综合表现最稳定的是减速增长模型，在这种意义上，它的表现是鲁棒性最强的。上文分析已知位置越靠前的港口对航线的整体表现影响越大，减速增长型的不确定性总量变化趋势是符合这一发现的，因此其性能也是最好的。另两个模型则除了在各自对应的情境下表现最佳之外，在其余条件下的表现均不如减速增长型模型。综合考虑，在设置不确定性总量上限时，应当按照减速增长型设置，这样可以提高航线整体的鲁棒性。

3 结论

班轮运输是国际集装箱运输的重要方式之一，不确定条件下的班轮航线与船期规划问题成为了新的研究热点。本文首次研究了天气及海况不确定条件下的班轮航线与船期规划问题。首先提出了这一问题的确定性模型，随后推导出有界不确定性和总量受限的有界不确定性两种情况下的鲁棒对等模型。这些模型考虑了到港延迟时的罚金和调整船期引起的时间敏感需求变化。确定性模型和有界不确定模型可以分别被视为总量受限的有界不确定模型在不确定总量被设为空或最大值时的特例。通过案例分析的主要发现有：(1)鲁棒优化模型往往牺牲一部分利润以提高鲁棒性，但牺牲的利润远少于最坏情况下的损失；(2)在天气海况不确定条件下，倾向于遵守船期以避免罚金；(3)港口在航线中计划到访的次序决定其不确定性总量上限对整条航线的影响权重；(4)以减速增长型设置不确定性总量上限可以有效提高航线整体的鲁棒性。研究结论可为班轮公司在规划航线与船期时应对天气海况的不确定性提供科学依据。

作为对不确定条件下班轮航线与船期规划的初步尝试，本文未考虑船舶在港口的排队等待时间以及货物处理时间上的不确定性可能与由天气海况变化引发的航行时间不确定性互相影响，在建模时也进行了严苛的假设，在未来的研究中，可以逐步放宽对假设的依赖，例如考虑迟到罚金与波及的货物量、时间的联系，或考虑到燃油消耗速率与航速之间的关系，进一步完善模型，使其有更高的应用价值。