高中数学排列组合解题方法与技巧研究

江西省赣州市赣县中学北校区 王子慧

一、认真区分排列与组合，提高解题正确率

排列与组合，学生经常把两组概念弄混，学生如果对两组概念没有清晰的认知，当面对题目时就会出现错误。教师教学时要对两组概念进行详细的分析，让学生清晰地知道，排列是有顺序的排列，而组合是无顺序的组合。让学生不仅对概念有了清晰的认识，在解题时也可以正确运用。教师可以从一道题目，引导学生认识到自己是否对两组概念有了清晰的认知。例如：将完全相同的4个红帽子和6个黑帽子排成一排，共有多少种不同的排法？学生思考这道题目时，如果没有经过充分的思考，就会认为将10个相同的帽子进行排序。此道题目核心的一点是完全相同的4个红帽子和6个相同的黑帽子，颜色相同的帽子即使位置发生了变化，排法仍旧是一样的。学生面对这道题目，正确的分析方法是10个帽子对应10个位置，我们将4个红帽子的位置先确定下来，那么剩下6个位置，就是黑色帽子的，4个红色帽子也是相同的，这也是属于组合的问题。接下来对问题进行分析就清晰明了。

所以在教学中，教师要引导学生多思考，对问题进行不同角度的解析，让学生再面对此类问题时可以触类旁通，轻而易举地解决问题。

二、引导学生掌握常用的基本解题方法

1．插空法

插空法是排列组合题目中常用的方法，是指题目中要求某些元素不相邻，使用其他元素隔开，先将其他元素进行排序，然后将抽离的元素插到其他元素的空隙及两端内。插空法经常用在解决“教师学生座位”的问题中。例如：学校组织老师和学生一起看电影。同一排电影票有11名7名学生和4名教师。教师必须是学生中的一员，而教师并不相邻。那有几种不同的坐的方式？一排有一定数量的学生，然后将老师插入学生之间的差距，有4个缺口需要插入。两个或两个以上元素不相邻的问题，可以使用插入方法，先排列没有限制的元素，然后根据需要插入具有限制的元素。对问题进行思考后，得知7名学生之间的空隙共有8个位置，将4名教师插进去，共有 种。教师在教学中多灌输插空法，帮助学生可以灵活使用此方法。

2．特殊优先法

特殊优先法是对有限制条件的特殊元素，我们优先对它们进行考虑，这种方法在“小球排列”问题中较为常见。例如：桌面上有12个小球，白颜色的小球有1个，红颜色小球5个，蓝颜色小球6个，排列的要求是相同颜色的小球必须排在一起，且白球不能在两端。请问有多少种排列的方法？对于这类题目，我们思考的角度是将三个不同颜色的小球看作一个整体，此题目中白球不能在两端是限制条件，所以我们优先对小白球考虑，其他的小球各自全排列即可。

3．捆绑法

捆绑法是指当几个元素相邻时，我们可以将这几个元素作为一个整体，在题目中进行排列。例如：教室里有7把椅子，椅子并排成一列，对椅子按照顺序进行标号，标号顺序为：a，b，c，d，e，f，g，对7把椅子进行排序，要求a，b椅子总在一起，请问一共有多少排序方法？题目中a，b椅子必须在一起，我们这时候可以使用捆绑法，将a，b椅子看作一个整体，其余的5把椅子进行全排列，a，b两把椅子的排列顺序有2个，两者相乘即可解决此问题。

在实际教学中，这三种方法是常常用到的，题目中常常需要三种方法相互使用，所以教师一定要教导学生灵活运用。

三、引导学生进行实际操作，激发学生学习排列组合的兴趣

很多教师在进行排列组合的教学时，只是一味枯燥地讲解或者给学生留很多习题作业，这些教学方法不能激发学生对知识的兴趣。另外，排列组合的题目因为涉及很强的逻辑性，学生有时就是无法理解其中的关键步骤，对排列组合知识产生畏难心。排列组合题目虽然抽象，但很多题目来源于生活的现实问题，设计排列组合的游戏是一个非常好的方法，教师可以组织学生参与排列组合的游戏中，例如：有4把1～4号椅子，有四个同学也按照1～4号进行编号，要求两个同学选两把椅子坐，同学编号必须与凳子的标号相同。请问共有多少排列的方式？教师指导学生参与游戏，学生在参与的过程中，可以将看不见、摸不着的逻辑思维外化在游戏中。这样化解了排列组合的教学难点，学生可以很清晰地理解排列组合的数学思维。

总之，排列组合问题既考查了学生数学逻辑思维的能力，也考查了学生解决现实生活中的问题的能力。教师在进行排列组合教学时，一定要多结合现实生活进行讲解，让学生可以使用多种方法理解题目蕴含的数学思想，选择合适的数学方法，准确地解决现实生活遇到的问题。