换元法在初中数学中的应用

湖北省武汉市关山中学 黄格群

作为一项初中数学中被广泛应用的解题方法，换元法非常重要。换元法是指在解题过程中将试题的一个（些）字母用另外一个（些）字母来替换，从而达到化繁为简的解题目的。换元法在初中数学中占据着非常重要的地位，数学教师应当注重向学生渗透换元法的重要思想，从而帮助他们达到快速、准确的解题效果。本文就以换元法典型习题为例进行讲解，希望对广大学生有所帮助。

一、换元法在因式分解中的应用

因式分解是初中数学中最重要的恒等变形之一，是学生解决数学问题的一项有力工具。在解因式分解时，需要用新元来替换式中的某个部分，从而减少因式项数，最终让复杂的因式分解变得简单。

例1：分解因式：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3。

解析：如果先去掉括号，然后再进行分解，过程会相当烦琐且运算量巨大。如果我们注意到（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，则可通过换元法将复杂的情况转化为简单问题。

解答：设（b+c-2a）=x，（c+a-2b）=y，（a+b-2c）=z，则有：x+y+z=0，

又x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-xz）， 则 有：x3+y3+z3-3xyz=0，

因此，原式=x3+y3+z3-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）。

如果能够掌握换元法求解参数试题，那么数字试题就能够轻松解答。

二、换元法求解分数方程和无理方程

分数方程和无理方程的难度要大于普通方程，因此需要换元法来降低方程的求解难度。

解析：本题需要从题目中的根号入手，让根号内外通过增减项变得一致，然后利用换元法将二次根式进行替换，最终将无理方程转换为有理方程进行求解。

当y=1时，即x2-3x+2=1， 解 得通过检验要舍去，因此，原方程的根为

三、换元法求解高次方程

整式方程未知数最高项次数高于2次的方程,称为高次方程。

例4：（1）已知方程（2x2+1）2-2x2-3=0，设y=2x2+1，则原方程可化为_____；

（2）仿照上述解法解方程：（x2+2x）2-3x2-6x=0。

解析：（1）设y=2x2+1，则原式左边=（2x2+1）2-（2x2+1）-2=y2-y-2，

∴原方程可化为y2-y-2=0。

（2）设x2+2x=y，则原式左边=（x2+2x）2-3（x2+2x）=y2-3y；

∴y2-3y=0，即y（y-3）=0，即y=0或3。

当y=0时，则x2+2x=0，∴x（x+2）=0，解得x=-2或0；

当y=3时，则x2+2x=3，∴x2+2x-3=0，解得x=-1或3。

故方程的解为-1，-2，0，3。

通过解题过程我们可以看到，换元法能够有效降低方程的幂次，降低试题的难度，提升学生计算的速度和效率，因此，教师在教学中应当注重传授这种数学思维，使学生能够灵活运用。

四、换元法巧解方程组

学生运用换元法求解方程组能够有效消元，简化求解过程和步骤，从而提升解题的速度和效率。

解析：如果正常求解这个方程组，会比较麻烦。我们可以把x+y，x-y分别看为一个整体，进行“换元”，然后再进行方程的求解，这样较为简单。

（2）设x+y=m，x-y=n，则原方程组可化为

通过解题过程我们可以得到，利用换元法能够有效降低方程的运算难度，提升解题速度，因此教师应当指导学生总结相关技巧，提升数学思维和水平。

总之，数学教师在授课过程中应当加大训练的强度和力度，总结经典习题的解题方法，提升学生的学习兴趣和成就感，帮助他们取得理想的分数，从而进入心目中的高中进行深造学习。

[1]高占芬．例析换元法在初中数学教学中的应用[J]．基础教育课程，2016（05）．

[2]卢春松．浅析换元法在初中数学解题中的应用[J]．数理化学习（初中版），2014（10）．