对一道三角函数求值题的解法再探

谢盛富

数学离不开解题，通过解题能发展学生的数学能力，提高学生的素养，在刚刚颁布的《普通高中数学课程标准（2017版）》中，提出了6个数学核心素养，它是在数学学习过程中形成的，具有综合性和实践性，历年高考均是以知识为依托、以能力为目的考查数学思想与方法，数学思想与方法又是数学核心素养的具体呈现，而解题教学正是落实数学思想与方法提炼、揭示和掌握的一种有效途径，因此在教学中应强化解题教学的过程性分析，注重解题思路的传授，讲清“怎么想到的”，方能讓学生获得解题的“法宝”，让学生体会并感悟其精髓，逐渐养成良好的解题习惯，有效培养学生思维的严谨性.

笔者曾在文[1]给出了如下试题第（Ⅲ）问的五种解法，并重点对解法5所得两解进行了剖析，由于文[1]成文时学生还没有学习到三角恒等变换公式，故在三角恒等变换公式学习之后，笔者引导学生进行解法再探究，并整理成文，若有欠妥之处，恳请同行们批评指正.

1 试题再现

评析 此解法虽与解法5相似，但此处是通过“1”的代换构造齐次式.

思路2 构造数量积，再利用三角恒等变换.

思路3 利用辅助角公式和凑角进行三角恒等变换.

思路4 利用等差中项，化二元变量为单元变量，减少计算量.

文[1]的5种解法与本文的5种另解，解题思路各有千秋，有些更接近不同层次学生的最近发展区，有些构思比较巧妙，但都离不开所学的数学知识与方法，目标清晰，目的明确，最终求出tanA的值，总之，“教师讲明白”不等于“学生明白”，更不等于“学生理解、掌握与应用”，因此，教师应引导学生根据问题特征，善于观察，探究解题方向，优化解题思路，进而解决问题，从中提升逻辑推理、数学运算和数据分析等数学素养.

3 变式

教学中教师要立足基础，回归课本并进行“二次开发”，认真研究高考试题，注意试题适度引申，注重一题多解和变式教学，抓通法，注意合纵连横，适度拓展学生的视野，注重数学思想和方法的渗透，发散思维，提升学生解决数学问题的能力.

培养学生的核心素养，需要从探究开始，从课堂落实，让学生会提出问题，激发探究意识，引导学生用数学思想与方法解决问题，培养探究能力，最终从反思中养成探究习惯，不断提高他们的学习能力和创新能力，懂得数学的价值，领悟数学的真谛，促使学生核心素养得到不断发展.