基于核心素养的极坐标与参数方程难点之探究

黄喜滨 江泽

近年来，教育界对于培养高中生数学核心素养问题日益重视，数学核心素养是学生通过数学的学习、反思、积累、升华、孕育出来的，面对复杂的、不确定的现实情境和问题时，能够综合运用特定的数学观念、知识、技能、思维模式、探究技能等，用积极的态度、科学的精神去分析问题、提出问题、解决问题、交流结果的过程中表现出来的综合性品质，通过对高中数学核心素养养成问题的探究，使教育界认识到：应将学生的数学能力构建纳入到优化他们今后的学习和思维能力上来，这将有力改观传统高中数学教学生态，数学学科提出“数学抽象”、“逻辑推理”、“直观想象”、“数学建模”、“数学运算”、“数据分析”这六大学科核心素养，高中数学学科核心素养是在学生数学学习过程中逐渐形成的，满足学生终身学习和社会发展需求的综合能力与品质，是高中数学学科课程目标的集中体现。

作为高考选考的选修4-4《坐标系与参数方程》相对较为简单，所以大部分考生都选做这一题，纵观近几年的高考数学，对《坐标系与参数方程》也有了更加新颖的考法，越来越经常考查应用参数方程求最值或范围问题，越来越重视利用直线参数方程t的几何意义求距离或相关问题，越来越注重应用极坐标求距离或面积等，从一线教学中发现很多学生对这些难点题型及解题规律不够熟悉，掌握较为薄弱，认识较为模糊，本文结合笔者的教学实例，总结处理相关问题的方法。

1利用直线参数方程中t的几何意义求与距离有关的问题

评注 极坐标与直角坐标互化时需注意：其一是互化的前提：极点与原点重合，极轴与x轴正方向重合，取相同的单位长度;其二在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一，在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性。

分析 （I）先将曲线G和直线l的方程化为直角坐标方程，再利用直线与圆相切求出直线l的直角坐标方程，再将直线l的方程化为极坐标方程;（Ⅱ）将直线l的参数方程和圆的直角坐标方程联立方程组，利用韦达定理和参数方程的几何意义，求出代数式的取值范围。

评注 本题难度较大，要求学生不仅要掌握直线参数方程中t的几何意义，还要懂得灵活应用，本题涉及到直线和两条曲线的问题，要求学生数形结合，从交点和定点的相对位置先判断t的正负，从而去掉lACl和lBDl的绝对值符号，把所求问题转化成韦达定理中出现的式子来求解。

小结 将陌生的问题转化为学生熟悉的模型，凸显逻辑推理的合理性，有助于逻辑推理和数学运算素养的建构.数形结合，有效提升了“直观想象”这一核心素养的教学价值。

2利用曲线的参数方程求最值（范围）问题

利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题简捷方便，是我们解决这类问题最常用、最普遍的好方法.因此，必须熟悉常见曲线的参数方程，掌握参数方程和普通方程的互化以及参数方程的简单应用，数形结合，根据图形优化解题策略，选择用参数法还是普通方程法。

评注 一般涉及椭圆上点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，我们直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程.设点坐标为（acosα，bcosα），将共转化为三角问题求解，在参数方程方面，我们一定要了解参数方程及其意义，其与普通方程之间的互化是一个重点，在写直线、圆和圆锥曲线的参数方程时，学生一定要注意参数方程中参数的几何意义。

评注 将曲线参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等。如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为三角函数问题得以解决，使解题的过程简单明了。

小结 从文字语言到图形语言的转化，是将抽象信息转向可视信息.不同语言间的转化是数学题教学的重点和难点.在例4中借助构造直观图形，通过分析图形获得解答方法，“图形”成为辅助思考的关键点，“想象”成为创新思维的核心点.这对如何在学习过程中构建数学问题的直观模型去探索问题的思路有一定的借鉴作用。

3 利用极坐标系中p的几何意义求有关距离或相关问题

《极坐标与参数方程》的解题思路通常是把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，用普通方程的方法解决，但从近几年的试题来看，也不全是如此.众所周知，极坐标中的p为极径，表示曲线上这一点与极点O之间的距离，因此题目中出现过极点的直线时，出现与极点相关的距离、面积等问题时都可首选运用极坐标p的几何意义来解决，容易发现，这种方法要比化为直角坐标运算简捷得多！

評注 碰到轨迹问题，常用的入题方法是“求谁设谁”，再根据题目已知点满足的方程整理便可，第（Ⅱ）问重点考查极坐标系中p的几何意义，注意为过坐标原点，倾斜角为00的直线极坐标方程，其上两点P（），Q（）的距离为lPQl=lPi-P2l，可以看到利用p的几何意义解题便捷许多。

小结 当我们直接利用极坐标系求解时，经常数形结合观察是否存在通过极点的直线，如此更凸显思维的简洁性和直观想象力，提升了“直观想象”这一核心素养的教学价值，这对如何建立数与形之间的关系辅助教学思考起着积极的催化作用，也对如何利用图形描述、分析数学问题起到一定示范作用。

核心素养贯穿数学学科教学始终，也贯穿学生的个人成长始终，是学生终身学习与社会实践的基础，本文通过对极坐标与参数方程常见难点的探究，不仅能有效调动学生的学习热情，激发学生浓厚的学习兴趣，更重要的是消除了学生的“恐惧”心理，帮助学生建立学好数学的信心，培养了学生的创造性思维，也使得学科核心素养的培养有依托、有根基，水到渠成，最后希望广大教师加强对核心素养的研究与学习，并充分发挥核心素养的教学指导作用，推动教学改革、促进学生发展。

参考文献

[1]江泽.基于学科核心素养的课例点评.福建中学数学，2016 （12）：14-16

[2]王冰.提高学生数学核心素养的基本策略[J].大连教育学院学报，2016（1）：39-40

[3]卢小妹.关于高中数学核心素养的认识[J].福建中学数学，2016 （6）：16-18

[4]金烨.基于培养学生数学核心素养的课例探究[J].数学之友，2016（3）：38-39