注重算法的形成过程，促进运算能力的有效发展——以《笔算乘法》案例研究为例

江西于都县实验中学附属小学 刘才军

【研究的问题】

《笔算乘法》一课是三年级上册的教学内容，它是笔算乘法的起始课，是学生第一次学习用列竖式的方法来进行乘法运算，它是在学生学习了口算整十、整百数乘一位数和口算两位数乘一位数的基础上进行教学的。

笔算乘法是小学阶段非常重要的一种运算，人教版新教材对笔算乘法的学习安排了两个阶段，第一阶段是三年级学习多位数乘一位数的笔算乘法，第二阶段是四年级学习多位数乘二位数的笔算乘法。至于多位数乘三位数或更多位数的笔算乘法教材没有进行再安排，主要原因是笔算乘法的算理和计算模型大同小异，学生在掌握了多位数乘二位数的笔算方法的基础上能够迁移类推出来。而要能够实现方法的迁移类推，关键在于学生学习笔算乘法时能深刻体验算法的形成过程，在此过程中理解笔算乘法的算理，建立清晰的笔算乘法的计算模型。而在实际教学中我们发现一个现象，学生对于算法的程序化演算掌握比较熟练，但当学生学习乘数位数增加时的笔算乘法时，会出现迁移类推的困难，迁移类推多位数乘多位数的笔算方法就更加困难了。究其原因，主要是学生没能在算法的形成过程中深刻理解算理，没有算理的支撑，算法只是模仿、程式化的演算。如何让学生更好地体验算法的形成过程，在理解算理的基础上自然形成算法，从而提高学生运算能力，这是我们一直在研究的问题。

本案例旨在通过研究，在深入细致分析发掘教材内涵与外延的基础上，科学合理地处理和加工教材，精心设计好数学教学活动，探寻如何让学生更好地理解算理、在理解算理的基础上如何对算法进行抽象概括，建立笔算乘法的计算模型，为后续笔算乘法的学习作好铺垫，促进学生运算能力的有效发展,改变重运算轻能力发展旧常态，确实落实学生核心素养的发展。

【实践描述】

一、课前问卷调查

本着实事求是、因材施教的原则，特设计了课前学情调查问卷，以了解学生已有的知识经验基础。共设计了3道题目，第一题旨在了解学生口算乘法的掌握情况。第二题是开放题，设计目的有二，其一，本题可以算法多样化，旨在了解学生的方法选择情况；其二，重点在于了解学生用口算的方法时列式的情况。第三题旨在了解学生对笔算乘法的最原始的理解，了解学生在没有教学笔算乘法时其掌握的情况。

1.口算

14×2= 23×3= 12×4= 134×2=

2．想一想：23×3＝（ ）

相信每位同学都能计算出23乘3积是69，那这个结果是怎么得到的？请把你的计算方法写出来。

3.你听过或见过列乘法竖式来计算乘法吗？如果你认为你会，请试着列竖式计算下面的题目，如果不会，此题可以不做。

21×4＝

我们从两个实验班级中分别选取了平时数学学习成绩处于不同层次的20名学生参加问卷调查，比较典型的问卷如下：

从这些问卷中可以看出：

1.从第一题的答题情况可以看出：口算的正确率很高，说明口算的技能训练较好。课后对学生进行了访谈，了解他们的口算方法，发现学生的口算方法和结果是对了，但“134×2=”的算理却表达不清，这说明学生对乘法的算理理解不够，迁移类推能力不足。

2.从第二题的答题情况看：极少部分学生用连加的方法计算，绝大部分学生都是用口算的方法来计算，说明大部分学生头脑中已经完成了算法的优化，且口算的算理理解较好。

3.从第三题的答题情况看：有20%的学生能列出标准竖式计算并能正确计算，说明笔算乘法对于学生来说并不完全是一无所知；有35%的学生能列出竖式但计算方法不正确，只把个位上的数相乘，十位上的数直接抄下来，说明学生受到了加、减法竖式的计算方法的负影响；还有45%的学生没有做。

二、精研教材

人教版小学数学新教材的编排如图：

教材给出了四种算法。口算乘法前一课刚刚学习，通过摆小棒，运用数形结合的方法直观地帮助学生理解了口算的算理，所以本课并没有出现摆小棒的方法。本节课是在学生充分理解了口算乘法的算理的基础上进行教学的，重点是让学生能根据算理正确列乘法竖式计算，初步建立列乘法竖式计算的模式。而叠加加法竖式计算是根据乘法的意义来计算的，通过与乘法竖式的对比，能帮助学生理解笔算乘法计算的算理，沟通加法与乘法的关系。虚线框中的列竖式计算（下文叫“初始”竖式）则是根据口算乘法的算理与算法来计算的，它是学生理解笔算乘法算理和抽象算法的重要资源，就像一座桥梁，把学生已学的口算乘法与新知笔算乘法建立起了联系，通过对比会发现它们的算理其实一样，只是换了一种记录形式而已。“标准”竖式计算是“初始”竖式的简便写法，通过与初始竖式的对比，进一步理解每一步乘的意义。

三、精心设计关键教学环节的数学学习活动

（一）活动二：自主探索——经历算法的形成过程

师：同学们，计算加法咱们可以列成竖式来笔算，其实乘法也可以列竖式来笔算，咱们这节课就来学习列竖式计算乘法，也就是“笔算乘法”（板书课题）

1.独立尝试：23乘3该怎么笔算呢？老师告诉你一个秘密，其实呀，笔算的计算道理和口算的计算道理是一样的，动手试一试吧！

2.小组交流：勇于思考和尝试就会有惊喜！瞧，大家都试着列出了自己的乘法竖式，那你的竖式是怎么列的？又是怎么算的呢？接下来就带着这两个问题在小组内轻声地交流交流。

[设计意图]尊重学生的个性差异，让学生自主尝试计算，特别注意寻找“初始”算法，为“标准”算法做好铺垫。教学过程体现先学后教，以学定教的教育理念。

（二）活动三：算法对比——沟通算法联系

师：咱们一起来晒晒自己的笔算方法，老师找到了两个不同竖式（见下图），有请第一种算法的同学先到黑板上来给大家讲讲，先说说你的竖式是怎么列的，再说说你是怎么算的。

生1：先写23，再把3写在3的下面。

师：也就是对齐个位。

生1：先算3×3＝9，写在个位，再20×3＝60，写在下一行，再把两个积加起来。

师：比较列竖式计算的方法和口算的方法，你发现了什么？

生2：计算方法其实是一样的，只是写法不一样。

生3：列竖式写起来更简单！

生4：……

师：同学们说得都很有道理，我也发现了他们的计算道理完全是一样的。怎么一样呢？我们一起来瞧瞧（见下图）。其实呀！这里只是把3步计算过程在一个竖式上完成了！

师：咱们再来看一看第二种算法，有请第二种方法的同学上台当小老师，讲一讲你的想法。

生1：……

师：咱们来比比这两个竖式，它们有什么不同呀？

生1：第一个竖式加了60，第二个竖式没有加60。

生2：第一个竖式有加，第二个竖式没有加。

生3：第一个竖式更复杂，第二个竖式更简单。

生4：第一个竖式的20×3等于60，第二个的20×3等于6。

师：第一道竖式3乘十位上的2积写成了60，第二道竖式3乘十位上的2积写成6，为什么可以这样写呢？

生5：十位上的2乘3等于6个十，把6写在十位上就是表示6个十，6个十也就是60（连线见下图），所以他们的答案是一样的。

师：听你们一说，老师也明白了，十位上写6表示的就是6个十，也就是60，十位上的6和个位上的9合起来就相当于60加9了。

师：那两种笔算方法你更喜欢哪种？为什么？

生：第二种，因为更简单！

师：都喜欢第二种吗？看来简单就是一种美。

师：咱们用笔算的方法也能计算出了23乘3的积是69，那刘虹一天跑的路程就是69千米了，69千米那可是相当于从于都到赣州的路程了，如果是我们步行的话，要走十几个小时呢！你现在知道刘虹夺冠的秘密了吧？

生：阳光总在风雨后，优秀的成绩都是用汗水换来的，我要向她学习这种刻苦努力坚持不懈的精神。

[设计意图]通过二次对比，由易到难，由旧到新，层层递进，最终抽象概括出一般方法。第一次“初始”竖式与口算乘法的计算方法进行对比，通过一一对应连线的方法让学生直观地感受列乘法竖式计算的算理与口算的道理是一样的，只是把三步计算过程列成了乘法竖式，初步感受乘法竖式的计算方法。第二次“标准”竖式与“初始”竖式的对比，沟通两者之间的联系，理解标准竖式乘的每一步的意义，让学生清楚理解60在位值制下可以只在十位上写6，使学生明白“为什么与十位上的数相乘的积要写在十位的下面”的道理。

【反思和启示】

运算能力作为学生核心素养的重要组织部分，新课程对其进行了明确定义：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。”培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算能力不仅仅指会算和算正确，还包括对于运算的本身要有理解，比如运算对象、运算的意义、算理等。本案例的研究正是基于以上认识来展开的，既要让学生掌握怎么算，还要让学生理解为什么这样算，怎样选择合适的方法算，着重提升学生的运算能力，使学生的核心素养得到有效发展。通过本案例的研究，我们所得到的反思与启示有如下几点：

1.本课例的设计注重了学生自主探索的过程，充分展现了学生思考，突出了学生的主体。

新课程提出学生是学习的主体，要让学生亲身经历知识的产生与形成过程，在这个过程中获得知识与技能，感悟思想，积累经验，从而落实“四基”。为了让每一位学生都有充分探索用笔算的方法计算的过程，本课是在用学过的叠加法和口算方法计算后，再提出让学生用笔算方法尝试进行计算的要求，保证了每一位学生有充分的时间与空间进行自主探索。这样的安排既体现了以生为本和先学后教的教育理念，又展现了学生对笔算乘法真实初始的想法，生成了“初始”竖式，为后面学习“标准”竖式提供了宝贵的学习资源。

2.本课教学通过方法比较，能有效沟通各种算法之间的联系，帮助学生理解算理。

本课共生成了四种算法，对这四种算法共进行了两次比较：第一次比较“初始”竖式与口算乘法之间的联系，通过连线直观建立竖式乘的每一步与口算每一步的一一对应关系，让学生感悟列竖式计算的算理与口算的算理相同，列竖式计算只是把三步口算写成了竖式的形式。第二次比较“初始”竖式与“标准”竖式之间的关系，紧紧扣住3乘十位上的2的积来进行讨论。讨论在“初始”竖式中积是写作60，在“标准”竖式中积是写作6，是什么道理。通过讨论，学生借助数位说明了其中的道理——6写在十位上表示的就是60,从而实现了两种竖式的归一，顺利实现了从“初始”竖式的算法的认识过渡到“标准”竖式的认识。通过这种关系链的递进对比学习方法，有效地沟通了新旧方法之间的联系，明白了为什么这样算，理解了乘的每一步的意义及书写位置，为后面学习笔算乘法奠定了基础。

3.深入钻研教材，做到教材处理到位而不越位，是提高教学实效的重要保证。

要设计好一节课，必须扎实教材钻研工作，摸清知识基础和认识起点。本课的一个重点就是帮助学生理解算理，因此教师要善于选择多种方式帮助学生理解算理。常用的理解算理的方式有实物原型、直观模型、已有知识等，本课既可以用小棒的直观模型，也可以用已有知识。到底用哪种？还是两种一起用？通过分析教材发现，其实在前一课口算乘法学习时就用小棒帮助学生理解,显然本节课不再需要用直观模型，只要用已有知识来解释就可以了，所以本节课直接从口算乘法作为教学的起点，直接进入笔算乘法的探索，有效地提高了课堂教学实效。

4.练习的精心设计促成了计算方法的内化与形成，有效地提高学生的运算能力对于运算的道理有所理解后，还需要学生对使用的方法进行再熟悉，以达到内化。基于此原则，概括出算法并没有安排在教学例题的时候，而是放在了巩固练习第一题中。第一题既要巩固两位数乘一位数的计算方法，同时也要类推多位数乘一位数的计算方法。经过这样的练习，学生对笔算乘法的算法起到了较好的内化作用，最终水到渠成地对算法进行抽象概括，形成笔算方法。为了更进一步内化算法，解决学生易漏乘十位和百位上的数这个问题，还设计了一道专项练习，专门训练学生填十位或百位上的数，学生很好地巩固了和内化了计算方法，提升了运算能力。♪