导数在高中数学解题中的有效应用

浙江省丽水市青田县船寮高级中学 章海波

根据现在的高中课本内容，掌握和应用导数的关键是导数的概念和定义的理解和学习，要进一步深化导数的应用，需要了解和掌握函数的单调性和函数极大极小值问题以及与函数极值相关的问题。现在高考的试题中导数相关题目越来越多，并且导数和函数、方程、几何图形等各方面的知识进行有效结合，目的在于考查学生的综合知识能力和分析能力。所以，学生必须在充分理解和掌握导数概念和几何、函数意义的同时，学习和研究运用导数解答相关内容方面的知识。如今把导数和其他知识相结合设计试题，必须要求学生提高分析能力和理解能力，学生因此需要对各种题型不断进行学习和练习，分析和研究其解题规律，从而能够快速解答问题。

一、应用导数知识求解函数极值问题

函数极值问题是高中函数学习的重要知识，要求学生必须理解和学会应用。在导数没有被引进来的时候，求解函数极值是学习的难点。函数的极大值和极小值问题具有很多解题方法，并且在计算解题的过程中和很多的数学内容相联系，所以，函数极值的求解是个综合性很强的问题。导数的引入和应用使函数极值的解题步骤简化了，难度降低了，同时增加了函数极值求解的思路和方法。通常进行极大极小值问题的数学试题设计时，都是求解一个区间的极大和极小值，这种试题也要应用数学式子和图形相结合的解题思路。并且把区间的端点和极值点进行比较，用来确定极大极小值的取值位置。比如，已知函数f（x）=x2-x，求这个函数在R上的极值。应用导数来进行解题是：f '（x）=2x-1，在导数大于零时，x＞1/2；在导数小于零时，x＜1/2。所以，x=1/2时，函数的极小值是-1/4，这个函数没有极大值。

二、应用导数知识分析函数的单调性问题

函数的单调性问题以前都是应用图象的方法进行分析，就是利用函数图象和增函数及减函数的概念进行函数单调性的分析和判断,这种方法不适合比较复杂的函数分析。在引入了导数的知识后，利用导数知识分析复杂函数的单调性，相对就比较简单和容易,其分析过程中求解函数的导数，把函数的导数当作独立的函数，把它和零比较，求得在不同区间的导数大小。比如，当x在区间[a，b]时，如果导数大于零，那么原函数在这个区间单调递增；当x在区间[a，b]时，如果导数小于零，那么原函数在这个区间单调递减。

三、应用导数知识求解不等式

不等式和函数是高中数学知识内容的两个重点知识内容，进行考试或练习的习题设计过程中，多数情况下都是不等式和函数相结合来设计，其目的是为了对学生的分析能力和知识综合运用能力进行考查。所以，函数和不等式的习题通常是数学的大题。随着高考多元化出题的趋势，多应用二次函数的降次解决问题，或根据二次函数图像的分布分析和判断不等式的性质，进行不等式求解。例如，已知函数f（x）设曲线y=f（x）和x轴的交点处的切线是y=4x-12，并且 f '（x）是 f（x）的导数，如果 f '（2-x）= f '（x），求函数f（x）。这个问题应用导数进行求解，就会减少运算量，让解题变得简洁。解：f '（x）=x2+2bx+c，因为f '（2-x）= f '（x），所以函数y= f '（x）的图像是关于直线x=1对称的，那么b=-1。又因为直线y=4x-12和x轴的交点是（3，0），所以，f（3）=0，并且f '（3）=4，所以9+9b+3c+d=0，同时9+6b+c=4，所以解得c=1，d=-3。求得函数通过这样的分析和解答，可以加快解题的速度，提高学习的效率，能够增强学生解答数学问题的兴趣和积极性。

四、应用导数解决切线问题

函数导数的几何含义是这个函数在某一点处的切线斜率。应用导数知识解决切线问题就是把导数和几何图形的求解进行结合，从而对问题进行解决，比如，指数曲线、圆锥曲线和三角曲线等方面的求解问题都是应用导数知识来进行解决的。对解决比较复杂的切线问题，也可以应用老方法和老思路，同时，导数的应用可以降低解题难度，增加解题效率，给解决切线问题拓宽了思路，增加了解题方法。因为人们固定思维方式和思维方法，高中学生通常在进行数学问题解决过程中会有很多的限制和约束，关于解决问题的思路和方法同样也有一定的固定方式。导数思维的引入就大大提高和创新了数学问题的解决方法和思路，使分析解决问题的难度降低了，步骤简化了。比如，向量、立体几何以及解析几何等方面问题进行求解时可以应用导数知识，虽然传统的数学解题思路和方法也可以解决数学问题，可是和应用导数知识进行问题解决的思路和方法相比较，显得具有一定局限性，方法过程相对复杂。例如：已知偶函数f（x），当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，那么曲线y= f（x）在点（1，-3）处的切线方程是什么？应用导数的知识解题：因为f（x）是偶函数，所以当x＞0时，f（x）= f（-x）=lnx-3x，所以f '（x）=1/x-3，则f '（1）=-2。所以在点（1，-3）处的切线方程是y+3=-2（x-1），也就是y=2x-1。通过导数知识的应用，降低了解题的难度和步骤，让学生不再厌烦数学问题的分析和解决，使学生可以加快解题速度和解题的正确率，加强学生学习的成就感，提高其学习的能力和质量。

综上所述，导数在高中数学的教学和学习中是重要的知识内容，发挥导数的作用，可以提高教师课堂的教学效率，增加教学方法，不等式、函数及几何与导数进行多角度的结合，寻找导数应用时的相同点和不同点。导数在教学过程的应用，可以加强不同知识间的联系，提高教学效率和效果，同时可以拓宽学生的解题思路，提升学生数学学习的积极性。