立体几何中关于概念理解易错问题的分析

■河南省商丘市第一高级中学

立体几何是高考数学中的重点考查内容,考查形式有选择题、填空题、解答题,考查同学们的空间想象能力、逻辑思维能力及数据计算处理能力。立体几何的学习中,立体感的建立、知识概念的理解与点线面位置关系的处理是学习的重点和难点。

空间几何体的特征与点线面的位置关系的判断是同学们学习过程中的易错点,主要错误点是空间想象能力和立体感官概念的缺失,现从以下易错例题进行分析。

例1 给出下列命题:

①分别和两条异面直线AB,CD同时相交的两条直线AC,BD一定是异面直线；

②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行；

③斜线b在面α内的射影为c,直线a⊥c,则a⊥b；

④有三个角为直角的四边形是矩形。

其中为真命题的是____(填序号)。

错误原因：空间观念不明确,三垂线定理概念不清。

审题方法：本题考查异面直线的概念及判定方法,空间几何中点、线、面之间的位置关系。

解题思路：命题①:若AC,BD不是异面直线,则AC,BD是共面直线,即点A,B,C,D在一个平面上,故AB,CD也不是异面直线,所以命题①正确；

命题②错因:可以作出与两条异面直线同时平行的平面,此平面的垂线同时与两异面直线垂直,此平面的垂线一定平行；

命题③错因:直线a的位置不确定；

命题④错因:有三个角为直角的四边形有可能是空间四边形。

答案：①

变式1 给出下列四个命题:

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②一个多面体的各顶点都有3条棱,则其顶点数V、面数F满足的关系式为2FV=4；

③若直线l⊥平面α,l∥平面β,则α⊥β；

④命题“异面直线a,b不垂直,则过a的任一平面与b都不垂直”的否定。

其中正确命题的序号是( )。

A.②③ B.①④

C.①②③ D.②③④

审题方法：命题①②考查的是简单几何体的特征,需熟练掌握简单几何体的结构特征；命题③④考查线面垂直与平行关系,需掌握线面平行的判定和性质定理。

答案：A

变式2 一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么关于它的三个侧面,有下列结论:

①至多只能有一个直角三角形；

②至多只能有两个直角三角形；

③可能都是直角三角形；

④必须都是非直角三角形。

其中正确命题的序号是____。

审题方法：熟练掌握三棱锥的几何特征,正确理解各面三角形的形状。

答案：③

例2 有下列命题:

①如果直线a,b满足a∥b,那么a平行于经过b的任何平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α,则a与平面α内的任何直线都平行；

③如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b；

④如果直线a,b和平面α满足ab,a∥α,b⊄α,那么b∥α。

其中正确命题的个数为____。

审题方法：线面平行的性质。

解题思路：命题①错因:直线a不与直线a,b确定的平面平行；

命题②错因:直线a与平面α内的无数条直线平行,但不与所有直线平行；

命题③错因:直线a,b的关系也可能相交,也可能异面；

命题④:因为a∥α,所以平面α内有直线l∥a,又因为a∥b,所以b∥l,因为b⊄α,所以b∥α。所以为真命题。

答案：1

变式1 已知a,b为不同的直线,有下列命题:

①若a∥b,b⊥α,则a⊥α；

②若a⊥α,b⊥α,则a∥b；

③若a⊥α,b⊂α,则a⊥b；

④若a⊥b,a⊥α,则b⊥α。

其中正确命题的序号是____。

审题方法：线面垂直的判定和性质知识的考查。

答案：①②③

变式2 在空间中,给出下面四个命题:

①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；

②若平面外两点到平面的距离相等,则过两点的直线必平行于该平面；

③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

④若两个平面相互垂直,则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线。

其中正确命题的序号是____。

审题方法：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定和性质知识的考查。

答案：①④