高考立体几何命题新动向之探究

■河南省商丘市第一高级中学

高效的高考复习备考,必须准确把握高考的最新动向。最新动向的把握是建立在对新课标思想的深入理解、对最新考纲的深入研究和对近年高考试题细致归纳总结基础上的。笔者在对近十年各地高考试卷深入研究的基础上,对高考立体几何进行合理的总结和预测,力图揭示立体几何高考命题新动向,为高效复习备考支招。

一、立体几何命题特点

立体几何是高中数学领域的重要模块,是高考考查考生的空间感、图形感、语言转化能力、几何直观能力、逻辑推理能力的主要载体。

通过研究近年各地高考试卷,不难发现有关立体几何的命题较稳定,难易适中,体现出“一小一大”的特点。即1～2道小题,1道大题,占17～22分,小题灵活多变且有一定的难度,其中常有组合体的三视图问题和开放型试题；而解答题大多属中档题,其中包含在几何体中考查直线与平面的平行与垂直、空间角与距离的计算等。高考命题既注意“知识的重新组合”,又采用“小题综合化,大题分步设问”的命题思路,朝着“重基础、直观感、空间感、探究与创新”的方向发展。

二、客观题命题规律

1.以三视图为载体考查空间想象能力。

由几何体的三视图识别几何体,由几何体的三视图得到几何体的直观图,由几何体(组合体)的三视图求几何体的表面积和体积等,成为新课标高考必考的内容。

2.点、线、面位置关系的问题。

直线与平面的位置关系是研究立体几何的核心,主要考查对相关定义、定理的深刻理解,以及对符号语言、图形语言、文字语言三者之间进行转换的能力,以选择题、填空题的形式出现居多,多为判断命题真假、判断充要关系、探求动点轨迹等。

3.与球有关的组合体问题。

球与简单多面体的组合体问题,较好地体现了对空间感的考查,在客观题中一直是考查的热点。

三、解答题命题规律

1.以多面体或组合体为载体,证明线线、线面、面面的平行与垂直等位置关系或计算空间角和距离。

证明线、面之间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决。这类试题以判断、证明、计算为主要形式来着重考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力和计算能力。

2.空间位置关系(特别是平行与垂直)及其逆向问题或探索性问题。

逆向问题往往是已知线面的一些位置关系或已知空间量的大小,要证明或探索另外一些线面的位置关系是否成立。这类问题的一般解决方法是:假设存在,然后运用条件推理计算,若求出,且没有矛盾,则存在,问题解决；若导出矛盾,则否定假设,说明不存在,导出矛盾的过程就是说明理由的过程。这类给考生留有较大探索余地的试题,已成为近几年高考试题的一个新亮点。

3.与函数、三角函数、不等式、导数相关的最值问题。

与函数、导数、三角函数、不等式等知识相结合是立体几何考查的一个新热点,必须密切关注。

四、备考策略

1.依据考纲,深挖教材,狠抓基础,控制难点,突出重点,形成体系。

在备考过程中,首先要针对高考要求,结合自己的实际,夯实基础。准确理解和把握空间几何体的结构特征,把握它们的内涵和外延,明确定理的内容、作用等,把知识网络化、系统化。对于重点内容要熟练掌握:直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直的判定定理与性质定理,对它们之间位置关系的判定,各种空间角及距离的求解,空间向量的应用等。

2.两类方法,两点注意,规范训练,过程落实,不断积累,总结规律。

几何法:(1)求角的问题时,注意紧扣定义,将空间角(异面直线所成角、线面角、二面角)转化为平面上两相交直线所成的角来处理,并可以归纳为:求角先找角,三角形中去解决。若是当余弦值为负值时,异面直线所成角、线面角应取锐角。(2)线面平行与垂直相关的问题,注意转化的思想方法:面面平行(垂直)转化为线面平行(垂直),再转化为线线平行(垂直)。(3)在求距离时,即求有关点集上任两点间的距离的最小值,可转化为求线段的长度的最小值,而寻求垂足落点的位置是求距离问题的关键。对于距离可归纳为:距离多是垂线段,放到三角形中去计算,若是垂直难作出,等积等高来转化。(4)在计算体积时,要从多方位、多角度看问题,要注意用“换底法”来求其体积,并注意“割补法”的运用,而“等体积法”则是求解立体几何问题的特殊方法,用它可求点到平面的距离,异面直线间的距离,多面体的内切球的半径等。

向量法:在一定条件下把证明与计算问题都转化为空间向量的计算问题,使复杂问题程序化、公式化。利用空间向量坐标解决立体几何问题的关键是找准位置建立适当的空间直角坐标系或基底,难点是在坐标系中表示已知点(或向量)的坐标,通过向量的坐标运算,实现几何问题代数化。向量法和坐标法解决立体几何问题,为立体几何问题的解决建立了新的角度,是新课标倡导的重点。向量的知识体系可以从向量法和坐标法中体现出来,要从整体上加深理解。

3.加强数学思想、方法的训练。

贯穿于立体几何中的化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,以及立体几何特有的平移法、模型法、反证法、翻折法、割补法和等积变换法等都极大地丰富了中学数学的思想和方法。

由于高考数学加强了对能力的考查,所以在立体几何的备考过程中,应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养,坚持培养我们的识图、用图能力,做题时应多画、多看、多想。