基于代数归纳经验积累的目标达成策略

郑海燕

《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称课标）确定了数学基本活动经验的积累在课程目标中的重要地位：“教师教学……应使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”代数归纳经验是重要的数学活动经验，即学生从具体的问题出发，从特例入手，尝试进行数字计算，摸索出规律法则，进行结果猜想，并尝试加以验证，归纳出一般原理，在这一过程中所获得的体验和感悟就是数学活动经验。让学生经历从具体的数字计算到符号再到数学语言表达的过程，即由特殊到一般的过程，由此逐渐积累相应的代数归纳经验，能促进学生的数学学习，帮助学生感悟数学的严谨性，增强学生学习数学的兴趣。在此，将在数学教学实践的基础上探索代数归纳经验的目标达成策略。

一、理清梯度，让目标达成层次化

在课标中，关于数学基本知识和基本技能，在分学段目标中都有具体阐述，而对于数学基本活动经验目标的阐述却并不清晰。这是因为数学基本活动经验有主体性、实践性、发展性等特点，很难对其制订出统一的目标。但是，如果仅凭一线教师的摸索，也不利于数学基本活动经验目标的达成。因而，可依据数学基本知识、基本技能、基本思想和方法的水平，依据具体学段学生的思维特征，以及课标对每个领域内容提出的具体要求，拟定每一类型的活动经验的学段目标，使目标清晰并层次化，使一线数学教师能够参考或借鉴。

正是基于上述思考，笔者所在的“基本数学基本活动经验的小学教学策略研究”课题组，提出了代数归纳经验的学段目标。

第一学段目标。其一，从日常生活经验、实际情境中构建数学模型，观察数量与数量间的关系，发现共性经验。其二，提高数感和符号意识，通过观察、操作等活动，能提出一些简单的猜想经验。其三，经历观察、实验、猜想、验证等活动，能够进行分析、比较，进行简单枚举，找到事物的共性和差异，体验由具体数字到符号的表达过程，积累归纳推理经验。其四，积累表达思考过程与结果的经验，并利用结论解决简单问题。

第二学段目标。其一，经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，观察共性与特性，发现隐含的规律或变化趋势。其二，建立数感、符号意识，回顾猜想经验，进行独立思考、分析，有根据地提出猜想。其三，利用已有的代数归纳经验，通过自主探究、小组讨论、探讨分析和科学枚举，积累合情推理和演绎推理能力的经验。其四，培养验证和说理的意识，清晰地表达自己的想法，并利用结论解决生活中简单的问题。

二、找准载体，让目标达成具体化

课标在总体目标的“数学思考”中明确指出：要让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。其中，合情推理即归纳。数与代数是整个小学数学学习中的重要内容，它在小学数学学习中所占比例最大。从理论上看，小学数学教材将为学生代数归纳经验的积累提供广阔的空间和载体。而笔者在实际研究中发现，当从代数归纳经验的目标出发时，就可以找到帮助学生积累数学基本活动经验的良好载体，并在教学中让目标达成落到每个具体的教学内容之中。好的载体能让学生在学习中完整地经历提出问题、形成猜想、验证猜想等过程。笔者和研究团队将一些特别适合培养学生代数归纳经验的教材内容进行了梳理（见表1）。

三、重视过程，让目标达成显性化

教师在数学教学中应遵循这样的规律：从观察入手培养数学直觉；从数学直觉背后挖掘归纳经验；从归纳经验提升演绎經验。代数归纳经验的积累需要经过以下过程：一是观察引入，即通过观察研究对象，提出要研究的问题；二是形成猜想，即根据观察到的结果，提出合理的猜想；三是枚举验证，即运用举例的方法验证猜想；四是归纳结论，即用文字或符号概括结论。教无定法，但有依据可循。教师要找准教材载体，可依据上述四个步骤，让学生在获得数学基本知识、基本技能、基本思想和方法的同时，也积累基本活动经验。

以二年级下册第6单元“有余数的除法”为例，可制订如下教学目标。一是经历把平均分后有剩余的现象抽象为有余数除法的过程，初步理解有余数除法及余数的含义，完善对除法的理解；能根据平均分后有剩余的现象写出相应的算式，能正确读、写出有余数除法的算式。二是在了解有余数除法的活动中，理解“余数要比除数小”的道理。三是通过具体操作、独立思考等形式经历知识生成的过程，感悟“变与不变”的数学思想，归纳出经验。

在上述第二个目标达成的教学过程中，笔者设计了“圈一圈，发现规律”的教学活动：用一些小棒“摆”四边形，写出除法算式，看看余数有什么规律。教师温馨提示：请先在头脑里“摆”四方形，然后在学习单上圈画验证自己的想法，最后写出算式，当发现规律时，就可以把你的发现说给同桌听一听。这样，学生在先想象、后操作的活动中，进一步加深了对有余数除法的认识。同时，让学生带着问题进行实际操作，经历了余数和除数关系的探究过程。

总之，代数归纳能帮助学生获得新知，其经验积累更是与学生的创新精神、数学学科核心素养的培养密切相关。作为数学基本活动经验的重要组成部分，教师更应对其进行深入研究，在目标定位及基于目标达成的教学策略上做更深入的探索。

（责任编辑 郭向和）