焦循复江藩信——1792年一次深入的历算交流

赵栓林 罗见今

(内蒙古师范大学科学技术史研究院，呼和浩特 010022)

1 引言

名人尺牍历来为史学所重视，清代距今仅过了一百多年，而书信真迹流传至今者已属凤毛麟角。目前已经出版的清代书信集，如《清代名人书札》[1]《小莽苍苍斋藏清代学者书札》[2]等虽有部分历算家书信手迹，但极少论及历算内容。历算家书信散见于专著、丛书、文集、译稿、杂著之中，搜集倍感困难。虽个别著作者有所提及和引用，如李迪[3]、刘钝[4]、郭世荣[5]等，但目前尚未见专题研究。

历算书信的整理与研究是作者目前从事的主要研究课题之一。从历算家通信来考察清代天文历法和算学内容的演进，深入了解学术著作的形成、学术思想的变化，有助于理清清代科学进程。乾嘉时期，考据学盛行。在注解校释古代典籍的过程中，古代历算问题的校注解读也成为这一时期学者们的主要学术工作之一。通过信札交流学术思想和看法，在当时较为普遍，但留存至今的书信手稿却十分难得。

焦循(1763—1820)，字理堂，江苏甘泉(今扬州)人，清哲学家、天算家。嘉庆举乡试，与阮元齐名。阮元督学鲁浙，俱招往游。后应礼部试不第，隐居“雕菰楼”读书著述，十余年托足疾不入城市。博闻强记，精于经史、训诂、历算、声韵之学，著《里堂学算记》《开方通释》《易章句》《易通释》《孟子正义》等。在诸多天算家中，焦循书信保存相对较好。

焦循信件在《焦氏雕菰楼集》([6]，页1—269)廿四卷(简称《雕菰集》)较为集中，据该集27封信(第十三、十四卷27封)的主要内容分类统计，经学类11封，史志类3封，历算类4封，其他9封，大体反映出焦循关心问题的分布情况。另外，清代学者王昶《湖海文传》[7]收录焦循书信4封，其中2封涉及历算。焦循《雕菰续集》([8]，页429—479)收有信件11封，不涉历算。《里堂札记》([8]，页609—708)收手札221封，其中涉及历算者26封。在“丁巳(1797)手札”有一封“答江子屏”写给江藩澄清误会。上海图书馆藏《里堂文稿》[9]中有焦循书信34封，无页码，无卷数，显然未经仔细整理。其中重复者有8封，与历算相关者共4封。

当然，《雕菰集》未存致焦循信件。作者之一广泛汇集清代科学家书信，在《明清藏书家尺牍》[10]中找到一封江藩致理堂信手迹(图1)，该信保存完整，字迹清晰，可惜未具年月。经过仔细辨读内容，发现其中有谈及数学及历算问题的两段，各近百字。作者还发现，在上海图书馆藏稿本《里堂文稿》中，有一篇焦循所写《答江郑堂书》([9]，页79—82)，恰为此信的复信，两信有问有答，今经甄别考释，并列于后，以供同好共赏。

江藩(1761—1830)，字子屏，号郑堂，江苏甘泉(今扬州)人，监生。曾师事余萧客、江声，为吴派惠栋再传弟子，与同里黄承吉、焦循、李钟泗友善，时称“黄江焦李”。深通训诂，尤长考据。阮元督漕淮安时，聘为丽正书院山长。生平《清史列传》有载。著有《周易述补》《汉学师承记》《尔雅小笺》《炳烛室杂文》等。亦工词，有《扁舟载酒词》一卷。江藩于嘉庆三年(1798)曾为焦循《释椭》作序。

江藩较焦循长两岁，扬州同乡，均为颇具声望的布衣学者，为时人推重，在研究方向上有共同领域，所以两人的深入交流在情理之中，这也为研究当时历算学者的学术网络和社会背景提供了一个范例。根据已有资料，并结合闵尔昌《江子屏先生年谱》和《焦理堂先生年谱》([11]，页299—359)，对焦循与江藩交往和学术交流情况作一简表(表1)。

表1 焦循与江藩交游情况表

续表1

图1 江藩致焦循(理堂)信

本文提供江、焦书信文本，辨识江藩手稿扫描件并给出释文，甄别焦循两封答信抄件且合并排印，注释两信并疏解文意，力图完整呈现信件原貌，以便学者进一步研究。

2 江藩致焦循信原件、释文及注解

江藩信距今220多年，其人名、地名、指称、事件等今人已较生疏，该手迹虽基本清晰，但有的字属草书难以辨认。本文列出释文，据《历代名家行草字典》[12]对释文中该字右上标出草书页码；对释读难点和人名作注，原书体字后圆括号内标出今体字。

释文

江子屏藩1

藩启

理堂仁兄足下，两得([12]，页140)手书，知起居胜常为慰。藩自入韩城相国2幕中，事烦(繁)心苦，碌碌终年3，局促如辕下驹，殊可笑也。今([12]，页47)春随从臺(台)麓4，四月中始回。

日下即谋纳粟下闱5，至七月终，甫得考到□尔6，进场虚应故事而已。

何文伯7来，得悉近祉，并知精究《九章》之学。我朝明算学者无过梅氏，然其书亦有未尽，所以江布衣永8有《梅翼》之作。其书今不可得，散见于《五礼通考》中。足下既([12]，页247)欲著为一书，发明梅氏之学，则江布衣之说亦不可不读也。成书后祈示我一读，以开茅塞。

藩近日篡(纂)《春秋解诂》一书，颇有所得，唯([12]，页126)杜预9《长历》，心知其谬，而年根置闰，推算烦(繁)重，且史册纪年往往疏舛，无从下手。《三统历》之疏密，又远无可据([12]，页118)，如“冬，城向”10释例一条，读刘炫11所规，不知孰曲孰直矣。未审年根置闰有何捷法，便中希见示。

汪掌庭12昆季近况若何？庾客去后有([12]，页17)消息否？红尘十丈中，举目□皆13，即起乡思，尤不能去诸怀者，一二故人也。草此并候

文祺不一。江藩顿([12]，页457)首([12]，页470)上(印章)

注解

1 江子屏藩：此标题为《明清藏书家尺牍》编者潘承厚所加，以下为正文。

2 韩城相国：即王杰。王杰(1725—1805)，字伟人，陕西韩城人，清朝名臣。初从武功孙景烈游，讲濂洛关闽之学，后从陈宏谋学，日益精进。乾隆二十六年(1761)状元，1774年任刑部侍郎，接连晋升，1786年任军机大臣、上书房总师傅，翌年为东阁大学士，总理礼部。嘉庆帝即位，仍为首辅。在朝四十余年，卒赠太子太师，谥文端。

3 江藩北上京师，得阮元举荐，馆王杰府邸十余年，颇受王氏器重([13]，页28)。

4 臺麓：从上下文看，应是职名。

5 纳粟下闱：闱，宫闱，秋闱，此应指办公地点。具体言何事待考。

6 □尔：□或读为“率”，草书污渍，难以辨识，意义暂付阙如。

7 何文伯：疑为何元锡(1766—1829)，字梦华，号蜨隐，钱塘(今杭州)人。清藏书家、金石学家。监生，官至主簿。精于目录学，家多善本，藏书8万卷，能诗文，龚自珍曾作诗颂其藏书。“文伯”待考。

8 江永(1681—1762)：字慎修，徽州婺源(今属江西省)。清代著名学者，精通经学、文史、乐律、天算、舆地，开创徽派学术，戴震、程瑶田等皆其弟子。天算受梅学影响较大。生员出身，晚年入贡。博通古今，尤长考据，颇有创见。著有《礼经纲目》《律吕阐微》《四书典林》《翼梅》等。

9 杜预(222—285)：字元凯，京兆杜陵(今陕西西安东南)人，西晋著名政治家、军事家和学者，灭吴统帅之一。历任曹魏尚书郎、西晋河南尹、安西军司、秦州刺史、度支尚书、镇南大将军，官至司隶校尉。博学经籍，多有建树。著有《春秋左氏经传集解》《春秋释例》《春秋长历》等。他是明朝之前唯一一个同时进入文庙和武庙之人。

10 冬，城向：后字释为“向”(亦见图2b第5面首列)。见《左传》桓公十六年(前696)：“秋七月，(鲁桓)公至自伐郑。冬，城向”，“城”用作动词，在“向”地修筑城邑。

11 刘炫(约546—约613)：字光伯，河间景城(今河北献县)人，隋朝经学家。开皇(581—600)中奉敕修史，后与诸儒修定五礼，授旅骑尉。旋任太学博士。与刘焯为好友。隋末妻离子散，冻馁而死。相信伪《尚书孔氏传》，伪造《连山易》《鲁史记》等；所提出《春秋》规过之论，对后世影响大。所撰《尚书述义》《玉函山房辑佚书》已佚。

12 汪掌庭：即汪光烜，字掌庭(廷)，一字震叔，江苏仪征人。诸生，汪棣(1720—1801)次子。以文学见称，与焦循、江藩皆有交游([14]，页59)。

13 举目句：原稿书“□皆”后用墨点划去，未补二字，似为“举目皆浊”之意。

3 焦循答江藩信抄件的两种版本

上海图书馆藏《里堂文稿》，不分卷，无目录，亦无序跋。其中著录焦循答江藩信抄件的两种版本：《答江郑堂书》([9]，页79—82)约1300字，《答江子屏论春秋历法书》([9]，页238—240)约1000字，对比两信，知原为一信，后者标题将江藩号郑堂换为字子屏，实际上是前者的节略本；但删节之外，文字又有增加，与前者互有异同。《里堂文稿》未介绍两文由来，读者对编辑情况亦无所知，目前只能据两文的内容做出判断。《答江郑堂书》原抄件见图2。

图2- 1 答江郑堂书(第1—3面)

焦循《答江郑堂书》的节略本易名《答江子屏论春秋历法书》，大多重复，限于篇幅，此处不予著录，今以原抄件为主将两篇合而为一，原文小字注解标以()，节略本所删文句标以[]，所加文句标以〈〉，可窥两篇全貌及节略本编辑意图。合并两抄件全文如下：

答江郑堂书

循顿首，[郑堂仁兄足下，]前月得读手书，欢慰之甚。闻撰《春秋解诂》，不知若何体例，[若何主意，]所得必有卓见，幸垂便示知一二。

承下问年根置闰之捷法，以循之愚所知，推算之例惟元人《授时》为最捷。盖古人用积年，《授时》用实测。古人度分用奇零，《授时》度分用整数。其法详于梅氏之《历学骈支(枝)》第一卷。以万分为日法，以六十万为旬法，以三百六十五万二千四百二十五为岁实，以五十五万〇六百分为气应，以元世祖至元十七年辛巳岁前庚辰年十一月己未日丑初一刻为上考，下求之准，或上考千百年，则以所求之年距至元辛巳若干年减一年，以乘岁实，为中积分。用消长之法，百年而益一分，得数减气应，为通积。以满旬法除之(以六为法，如揲蓍之以四)，余以甲子顺推之值某干支(余二则为乙丑，余三则为丙寅)，即得冬至之日。然后以经朔之法求之。经朔为每月之朔，冬至为十一月之中气，冬至不恒在朔1，必后朔而得之。此朔日距冬至谓之闰应。

《授时》以二十万〇二千〇五十分为闰应；定法以闰应减中积分，得数为闰积；以十二月除岁实，得二十九万五千三百〇五分九十三秒，为朔筴；以朔筴除闰积，即为相距之月数；所除未尽之数减朔筴，为闰余，即所求之年。经朔距冬至之数，以所求冬至日数(即前满旬除之，顺甲子推之者)与闰余相减，得数即经朔。或不及减，则加旬法六十日减之，余为经朔也。冬至及经朔之数既定，而闰月即在其中。冬至距经朔即在朔筴数内，则无闰；在朔筴数外，则必闰一月，而后得冬至之期。如隐公庚申年庚子经朔，距庚午冬至凡三十日，较朔筴为多，故闰十二月，而正月至朔同日也。(授时之术每岁均可为元，明末以崇祯戊辰为元，会典以康熙甲子冬至为元，近又以雍正癸卯为元)。循之闻如是，此实简而且精，[不识尚有精捷于此者乎？]〈无过此也。〉

然又有惑焉，术算之法今密古疏，如昭公二十年己卯正月己丑朔旦冬至，以《授时》法算之，为戊子日八十三刻一十四秒，[与《传》文]〈戊子己丑〉相差一日([《传》冬至在二月，]〈《传》文为春王二月己丑日南至，按〉二月无冬至中气，必为正月之伪[也]。〈杜氏2以为失闰，闰更在二月后〉)。窃谓[似]当以《授时》之密法推得其所当然，更以《春秋经传》朔闰所可考者以推明彼时历法，庶几无牵合强致之病也。

〈来札言〉桓十六年冬城向杜〈氏释例与刘氏3规过，未决孰曲孰直，循谓《左氏传》明曰书时，故杜氏引叔弓如滕4为例。《春秋》书时不书月者甚多，其卒葬之，不月皆由阙文。此城向或由事，非一时而概之。以冬未可知者，宜博考于《春秋》全文，曲直自决于年根置闰之法，则无与矣。〉[以为闰六月，则建戍(戌)5之月可兴土功。刘氏则以为不然，当以桓公十六年距至元辛巳为若干年，求得冬至之所在、闰月之所在。又以恒气求之(即二十四气一气之度分)，得此一年之中气、节气，究果闰与否？果闰六月或闰在戌月后与否？则杜、刘之曲直可判矣。顾司业6《大事表》有《朔闰表》并《长历拾遗》等卷，言之甚详。然隐公三年之正月朔即与《授时》不同，或所推仍本诸杜氏而未能深入耶。《四库书目》有陈厚耀7《长历》十卷，称其明于算法胜杜书之前，后牵就其中，想有可观，宜求阅之也。

循所为算学拟为三书，一曰《加减乘除说》，以纬方程盈朒等琐杂虚渺之数；一曰《方员(圜)释》，自等边、周径、阳马、鳖臑等，以法为纲，释其义于下；一曰《勾股割员(圜)记笺》，则发明戴氏8之学也。始成平方、立方、带纵方，共九卷，乘方五卷，于乘方之释颇自苦心，可以为子弟教也。

愚病之身，惟读书为好。有所自得，不觉狂喜，如贫子之获千金。所惜者孤立独言，疑义欲析，而良友不可即。每以此碍塞，不终诵而起。

京师华聚之所，曾有志相合而可以埤(陴)助者乎？意所欲言，书不能尽也]。

壬子冬小寒9后日行赤道南二十度〇二十九分

注解

1 冬至不恒在朔：抄本书误，此处“不恒”当为“恒不”，即冬至总不在朔日。

2 杜氏：即杜预，见江信注9。

3 刘氏：即刘炫，见江信注11。

4 叔弓如滕：叔弓到滕国去参加滕成公葬礼。《春秋》：“正月丁未(二十四)，滕子原(滕成公)卒。夏，叔弓(子叔敬叔)如滕。五月，葬滕成公。”另见《左传·昭公》。

5 建戍：“戍”当作“戌”。历法中有建丑、建寅等说法，如殷正建未、莽正建丑等。

6 顾司业：顾栋高(1679—1759)，字复初，江苏无锡人。清朝官员，学者。康熙六十年(1721)进士，官内阁中书。雍正时罢职返籍。乾隆十六年(1751)以经学入选，授国子监司业，因年老不任职，赐司业衔。融宋、元、明各朝诸儒学谈而一，著有《方儒粹语》《春秋长历拾遗表》《毛诗类释》《尚书质疑》等。

7 陈厚耀(1648—1722)：字泗源，号曙峰，清泰州人。早年师从梅文鼎研究天文历算，康熙四十五年(1706)进士。历任苏州府学教授、内阁中书、翰林院编修、国子监司业、翰林院修撰等职，曾任康熙五十七年会试同考官。著有《借根方算法》《算法纂法总纲》《八线根表》《春秋世族谱》《春秋战国异辞》《通表》等。

8 戴氏：戴震(1724—1777)，字东原，号杲溪，徽州休宁隆阜(今黄山屯溪区)人，清代著名文字学家、哲学家、科学家。乾隆二十七年(1762)举人，1773年为《四库全书》纂修官，1775年特命参加殿试，赐同进士出身。治学广博，音韵、文字、历算、地理无不精通，其哲学思想对后世影响深远。著《孟子字义疏证》《考工记图注》《勾股割圜记》等。梁启超、胡适称之为中国近代科学界的先驱者。

9 壬子冬小寒：壬子为乾隆五十七年(1792)，据《三千五百年历日天象》[15]，该年小寒在十一月廿三日。

4 江藩致焦循信提出的问题

在讨论江信内容之前，必须先确定该信时间和地点。信中提到的《春秋解诂》、年根置闰、孰曲孰直等均在焦循回信中出现，可断定回信专为江信而作；焦信写于乾隆“壬子冬小寒后”，即1792年十一月廿三日之后，信中写明“前月得读手书”，可确认江信写于1792年十月(文中日期均为农历)。此时江藩居于王杰幕下，“四月中始回，至七月终”，确知此信在京师王杰府邸所写。

江藩写此信时31岁，“两得手书”，说明两人联系较频繁。江信行文口吻亲切直白，并无繁文缛节。除介绍自己近况，先谈得知焦循在研究《九章算术》，指出梅文鼎学术之高，清朝无出其右，但“其书亦有未尽”，介绍江永所作《梅翼》(即江永《翼梅》)，建议焦循著书时参考，待书成后请焦给他阅读，他要学习。这是关于数学的探讨。

接着提出历算问题，表明自己在撰写《春秋解诂》，但是与杜预所作的《春秋长历》相左，虽然不同意杜的观点，但因涉及到“年根置闰”，计算起来非常复杂，而历史书中的记录却往往是错误的，找不到根据，感到无从下手。《三统历》之精密度有疑问，《左传》“冬，城向”的记录与隋朝刘炫观点相抵牾，难以判断谁是谁非。所有这些问题，还是请焦循介绍年根置闰的捷法，“便中希见示”。

以上江致焦信两段中，尤以询问历法中“年根置闰”的简便算法为主题。

5 焦循复江藩信中回答的问题

由于焦复江信有《答江郑堂书》全抄本和《答江子屏论春秋历法书》节略本，须先对比两者区别：(1)从“以为闰六月”至“宜求阅之也”删约200字历算内容；(2)从“循所为算学拟为三书”至“可以为子弟教也”删约120字算学内容；(3)从“愚病之身”到“书不能尽也”删约80字，属信尾问候；(4)从“氏释例与刘氏”到“则无与矣”增加约100字历算内容。由此看出，后文保留了春秋历法，删去数学和问候语等。本文依据《答江郑堂书》全抄本的主要学术内容作一探讨。

信中询问江著《春秋解诂》情况，篇首回应“年根置闰”问题，指出元人(许衡、王恂、郭守敬)编《授时历》的方法最为便捷，接着用近千字详加论述，出处是梅文鼎《历学骈枝》第一卷。先讲《授时历》用实测代替古人的“上元积年”，论述的内容依次为：

(1)采用数据(均扩大万倍)：日法=10000；旬法=6×105(干支周期)；岁实=3652425(回归年)；气应=550600。《授时历》以365.2425日为一年。

(2)确定上考时刻：在元世祖至元十七年辛巳岁(1280)前庚辰年(1279)十一月己未日丑初一刻。《授时历》从至元十八年(1281)实施。

(3)求出“上考”前某年距此时刻所差年数：(上考前年数-1)×岁实=中积分。再用“消长之法”，即考虑修正值，每过百年增加1分：中积分修正值-气应=通积。

(4)以“满旬法除之”，做以60为模的同余运算，与大衍求一“揲之以四”法类同。所得余数，按六十甲子顺序，读出它的日干支，就是该年冬至日。

(5)经朔法：每月朔日叫做“经朔”，冬至为十一月中气，冬至总不在朔，一定在朔日之后。朔日距冬至的时间叫做“闰应”。《授时历》闰应=202050。

(6)定法：闰应-中积分=闰积；岁实÷12=朔筴295305.93，这是《授时历》朔望月数值的万倍；闰积÷朔筴=相距月数；未除尽数-朔筴=闰余，即所求之年。

(7)确定经朔：(前以60为模的同余运算所得)以所求冬至日数-闰余=经朔。当不够减时，就加60再减(仍然是同余算法)，即为经朔。

(8)冬至及经朔既定，闰月便在其中。冬至距经朔在朔筴数内，则无闰；在朔筴数外，则必闰。这就是《授时历》以无中气之月为闰月的方法。

以鲁隐公二年庚申(前721)闰十二月为例，说明无中置闰的道理。

焦循总结说，这个方法简单而且精确，没有比这更加精确而快捷的了。

但是，还有疑问，《左传》鲁昭公二十年己卯(前522)冬至日与用《授时历》法算得的结果相差一日，焦循认为还是依据《授时历》精密的方法推出结果来，再用《春秋经传》可考的朔闰记录，推求当时的历法，这样就可以避免牵强附会导致的错误。

杜预认为《左传》桓公十六年(前696)闰六月，到冬天“建戌”之月就可以动土，故鲁桓公就在向地筑城建邑。但刘炫却不同意他的观点。解决的办法是计算从这年(前696)到至元辛巳(1280)共有多少年，算出冬至、闰月的干支日，求每个节气的长度，再算得该年各中气、节气，是不是该置闰？该年是不是闰在六月，或闰在建戌月之后？于是杜预和刘炫谁是谁非就可以判断出来了。

顾栋高司业所编制的《春秋长历拾遗表》有《朔闰表》《长历拾遗》等卷，讲得详细。然而鲁隐公三年(前720)正月朔却与按《授时历》算得的不同，或许由于所推出的仍然是按照杜预的方法而没有能够深入吧。《四库书目》有陈厚耀的《长历》十卷，认为算法比杜预的高明，如果一定要搞清楚，此书应有可观之处，可以拿来读一读。

焦循接着介绍自己编写的三本数学书：一是《加减乘除说》，讲方程、盈亏与各种数；二是《方圜释》，讲等边形、圆形、阳马、鳖臑等，以定理为纲，接着是定义；三是《勾股割圜记笺》，阐发戴震的《勾股割圜记》。刚写成平方、立方、带纵方，共九卷，乘方五卷，对后者的解释颇费苦心，可以作为教材。至此，信中学术问题论述完毕。

6 结语

清代科学家书信研究是一新领域，历算家信件犹如阳光下的一滴水，折射出那个时代从事科学研究的人们五光十色的真实思想和生活，极富魅力。

作者是从科技史学科的需要来搜集和释读清代历算家尺牍的，起初从科技与社会(STS)的视角进行研究，后来认识到，这种工作其实属于历法史、数学史、传记研究本身，找到一篇内容充实的科学家信件，不啻于发现一篇新的科学著作。

220年前，两位造诣深厚、各有所长的学者江藩和焦循就历法问题进行了一次内容深刻的对话，展示了他们的科学素养和广博的学识，信中涉及历法名词、基本概念和数据、算法公式、历法史、先秦经籍与人物、历史记录以及后世与清代研究学者对不同学术观点的批判等，内容丰富多彩，给后人留下了诸多研究空间。

江藩信中两度提及“年根置闰”，焦循信中开篇承续此话题，详述《授时历》“无中(气)置闰”的方法。那么，“年根置闰”与“无中置闰”是什么关系？首先须说明，“年根”是历法计年的起点，“年根置闰”与“年终置闰”不是一回事。其次，《授时历》“年根”可定在任意一年，与先秦时代就出现的“年中置闰”也不相同。“年根置闰”与“无中置闰”命名的侧重点有别，据此信知其方法和结果是一致的。另外，先秦历法史上置闰方法经历过重要改革[16]，信中杜预认为《左传》桓公十六年(前696)闰六月，这就涉及“年中置闰”，需要专题研究。两信中若干具体问题也需进一步探讨。

焦循写此信时年方29岁，博闻强识，雄心勃勃，他一心一意读书、做学问，“惟读书为好，有所自得，不觉狂喜，如贫子之获千金”，成为生动的自我写照。当然他也经历了艰苦的探索，“孤立独言，疑义欲析，而良友不可即”，人们看到，对于独立的研究者，学术寂寞如影随行；“嘤其鸣矣，求其友声”，信中他渴求志同道合者相助，希望求教于“曾有志相合而可以埤助者”。

致谢感谢评审专家的修改意见。感谢上海东华大学陶培培老师协助查阅相关资料，感谢邬珍老师帮助辨识草书难识字体。