王风池
(作者单位:江苏省淮安外国语学校)
题型一:已知直角三角形的两边求第三边
【例1】在Rt△ABC中,a=6,b=8,求c.
解:①当∠C=90°时,由勾股定理得,
②当∠B=90°时,由勾股定理得,
题型二:勾股定理与面积
1.已知两边长求面积.
【例2】在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,c=5,则Rt△ABC的面积S=______.
解:在Rt△ABC中,a=3,c=5,则 b=4,
2.已知周长(a+b+c)和斜边长c,或已知(a+b)及c,求面积.
【例3】一直角三角形周长为12米,斜边长为5米,则这个三角形的面积为______.
解:在Rt△ABC中,
∵(a+b)2=a2+b2+2ab,c2=a2+b2,
∴(a+b)2-c2=2ab,
3.已知a、b、c(或已知a、b,根据勾股定理求出c),求高h.
【例4】在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AB=5,CD是斜边的高,求CD的长.
解:∵∠C=90°,AB为斜边,且BC=4,AB=5,
∴AC=3.
4.直线上摆正方形问题.
【例5】在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4等于 .
图1
解:为方便说明,在图上加字母A、B、C、D、E.
观察发现,∵AB=BE,∠ACB=∠BDE=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,∠ABC+∠EBD=90°,
∴∠BAC=∠EBD,
∴△ABC≌ △BED(AAS),
∴BC=ED.
∵AB2=AC2+BC2,
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2,
即S1+S2=1,同理S3+S4=3.
∴S1+S2+S3+S4=1+3=4.
题型三:勾股定理与折叠
【例6】如图2,有一个直角三角形纸片,两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.
图2
解:设CD=x,则BD=8-x.
∵△ADE是由△ACD翻折得到的,
∴AE=AC=6,∴BE=10-6=4.
在Rt△BDE中,BD2=BE2+DE2,
即(8-x)2=42+x2,解得x=3.
∴CD=3.