万有引力问题中匀速圆周运动知识的运用

周正乔

灵活应用匀速网周运动的分析方法相当重要：1.确定研究对象（运动物体或者天体）；2.定网心、定网周、定半径；3.受力分析，找到提供向心力的力；4.由向心力表达式列方程（根据问题选择合适的表达式）.

万有引力定律涉及的匀速网周运动问题大体可以分为两种模型：1.随转模型；2.绕转模型.

随转模型：地球上的一切物体都随着地球白转而绕地轴做匀速网周运动，这是物体随着地球做网周运动的模型.物体做网周运动需要的向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是f= mω²r，式中的r是物体与地轴的距离，ω是地球白转的角速度.这个向心力是由万有引力F的一个分力提供（如图1），万有引力F的另一个分力是物体的重力mg.在不同纬度的地方，物体做匀速网周运动的角速度ω相同，而网周的半径r不同，这个半径在赤道处最大，则向心力最大且等于万有引力与重力（大小等于弹簧秤示数）之差，在两极最小（等于零），则所需向心力为零，重力（大小等于弹簧秤示数）等于万有引力F.

例1 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P.则星球的平均密度是多少？

绕转模型：此类问题中运动天体或者航天器绕着中心天体做匀速网周运动，运动半径与运动天体到中天天体球心距离相等，解题关键是把握好：万有引力提供匀速网周运动的向心力.

例2 我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则（）

A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大

B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长

C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大

D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大

在绕转模型中还有一類比较特别的题型，双星系统或多星系统，它们远离其他恒星白成体系，绕着它们之间的某点做匀速网周运动，与上面不同的是双星系统或多星系统中恒星的运转半径不等于它们球心之间的距离，这是同学们在解此类问题时的一个易错点.以双星系统为例来分析：

例3 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起.

（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比：

（2）设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式.

双星系统有如下特点：

1.两天体的角速度相同，即ω1= ω2=ω（则周期T1=T2=T）；

2.两天体之间的距离保持不变，即R1+R2=L：

因此，在解万有引力问题时，仔细分析清楚问题是哪类模型，明确研究对象的网周、网心、半径，抓住万有引力提供匀速网周运动的向心力，由向心力表达式列方程，细心细致，就可以规范准确解答好问题了.