万有引力公式中r的含义辨析

胡宏

一、五种表达式中r的物理意义

1.万有引力定律中的r

万有引力定律的内容是：宇宙间一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们间的距离的平方成反比.

万有引力定律的公式是：

万有引力定律的适用条件是：严格来说公式只适用于质点间的相互作用，r表示两质点间的距离.当两个物体间的距离远远大于物体本身大小时公式也近似适用，但此时它们间距离r应为两物体质心间距离.

2.开普勒行星运动定律中的r

开普勒第三定律（周期定律）：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭网轨道的半长轴的立方成正比.若用r表示椭网轨道的半长轴，用T表示行星的公转周期，则有k= r³/T²是一个与行星无关的常量.式中的r表示椭网轨道的半长轴，如果轨迹是圆，则表示网轨道的半径.

3.体积中公式中的r

二、典型例题

例1 世界上第一颗人造地球卫星环绕地球运行轨道的长轴比第二颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴短8 000 km，第一颗人造地球卫星环绕地球运转的周期是96.2 min，求第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴和第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期（已知地球质量M=5. 98×10²⁴ kg）.

解析 本题中第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴与第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期均是待求量，仅由开普勒行星运动定律难以求解.因此可以假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由万有引力提供向心力的关系求出卫星的R³/T²，又由开普勒第三定律知，所有绕地球运行的卫星的r³/T²值均相等，只要把假想卫星的R³/T²题中的二卫星的r³/T²值相比较即可求得结论.

假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由于万有引力提供向心力，则

再设第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴为a，第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期为T，由开普勒第三定律得

例2 飞船沿半径为R的圆周绕地球運动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图1所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间.（已知地球半径为Ro）

例3现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.万有引力常量为G.求：

（1）试计算该双星系统的运动周期T

（2）若实验上观测到运动周期为T'，且T'：T=1：√N（N>1），为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质——暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.

解析 “双星”系统中的两个天体共同围绕其中心天体连线上的一点而做的匀速网周运动.不存在“环绕”与“被环绕”的关系，与地球“绕”太阳和月球“绕”地球的运转情形截然不同.因此，明确地区分“双星”之间的距离L与双星运转的轨道半径r的本质不同于内在关系就更为重要.

“双星系统”是一种比较特殊化、理想化的天体运动的模型，求解“双星”问题时必须注意到双星之间的距离L与两球体各自做匀速网周运动的轨道半径r的本质区别与内在关系，并建立双星的空间运动模型，然后依据万有引力定律与匀速网周运动的规律求解即可.

（1）由于“双星”的两个星体之间的万有引力提供二者的向心力，且因二者的质量相等，故各自的运动半径均为L/2，设各自的运行速度为v，由万有引力定律得

此题中出现的“双星”“暗物质”均是很新颖的名词，是天文学的一种模型.求解“双星”问题必须把握几个要点：

①运用等效抽象的思维建立“双星”运行的空间物理情景；

②运用逻辑思维的方法，依据万有引力定律和匀速网周运动的规律以及密度公式进行求解.