从一道函数零点例题谈起

于海军

同學们在课本上遇到过这样一个问题：判断函数fx）=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点.这是一道比较简单的课本例题，书中提供了两种解法：

解法一 将函数零点问题转化为解方程问题，根据求根公式得方程x2-2x-1=0的两个根分别为x1=1+√2，x2=1-√2.因为1<√2<2，所以2<1+√2<3.因此函数f （x）=x2-2x-1在区间（2，3）上存在零点，

解法二 从函数图象出发，如图1，f（2）=-1<0，f（3）=2>0，而二次函数f（x）=x2-2x-1在[2，3]上的图象是不间断的，这表明函数图象在区间（2，3）上一定穿过x轴，即函数在区间（2，3）上存在零点.

我们对这个解法不妨做一些思考，让这种解法能解决更一般的函数零点问题.

如果是一般的二次函数在给定区间（m，n）上有零点，能根据图象得到判定方法吗？

观察二次函数图象，我们发现如果函数图象在（m，n）中穿过z轴一次，则函数y-f（x）在（m，n）中就唯一存在一个零点x0，怎么保证穿过一次呢？用f（m）f（n）<0保证就可以了，

思考一 如果二次函数y=f（x）对于实数m，n，m

例1 若关于z的方程3tx2+（37t）x+4 =0有两个实根α，β，满足O<α<1<β<2，求实数t的取值范围，

解析 函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标，是一个实数，即为方程f（x） =0的根，由题意设f（x）=3tx2+（37t）x+4，可得 f（0）（1）<0，f（1）（2）<0解得 3t +3-7t +4<0，（3t-7t+7）（12t+6-14t +4）<0， 即7/4

如果将函数改为单调函数，零点能用图象判定吗？答案是肯定的，

思考二 一般地，如果函数f （x）在区间[m，n]上的图象是连续不断的曲线，且函数y=f（x）是单调函数，当f（m）f（n）<0，那么有且仅有一个x0∈（m，n），使得f （x0）=0，即函数y=f（x）在（m，n）中存在唯一零点x0.

例2 若方程2x=kx +2（k<0）在（0，1）上有且仅有一个实数解，求实数k的范围，

解析 由题意设f（x）=2x-kx-2（k<0），则函数y=f（x）在（0，1）上为单调增函数，它有且仅有一个根的条件是f（O）.f（1）<0，得解（20-0-2）（21-k2）<0 k<0.

如果不是单调函数呢？零点的情况又如何呢？观察图象得出函数与方程中一个重要结论：

（零点存在定理）一般地，若函数y=f（x）在区间[m，n]上的图象是一条不间断的曲线，且有f（m）f（n）<0，那么至少有一个x0∈（m，n），使得f（x0）=0，即y=f（x）在（m，n）中至少存在一个零点x0，

例3根据表格中的数据，可以判断方程ex-x-2=0有一个根所在的区间为（）

A.（-1，0）

B.（0，1）

C.（1，2）

D.（2，3）

解析 由题意设f（x）=ex-x-2.函数为连续函数，则代人得f（2）f（1）<0，所以选C.

同学们，如果将零点存在定理条件从f（m）f（n）0，零点又会出现怎样的变化情况？

思考三 一般地，若函数y=f（x）在区间[m，n]上的图象是一条不间断的曲线，且有f（m）f（n）>0，那么，函数f （x）在区间（m，n）内不一定没有零点.

例4 若函数f（x）=3x2+ 2ax +1（a>0）在区间（- 1，1）内有两个零点，则实数a的取值范围是

解析 由题意知

△=（2a）2-4X3Xl>0，

-1<2a/6<1，

f（-1） =3-2a +1>0，

f（1） =3+2a +l>0，

又a>0，解得√3<以<2.

思考四 一般地，若函数y=f（x）在区间[m，n]上的图象是一条不间断的曲线，那么当函数f（x）在区间（m，n）内有零点时不一定有f（m）f（n）<0，也可以是f（m）f（n）>0.

例5 已知函数f（x） =2ax2 +2x-3.如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，则实数a的取值范围是

解析 若a=O，则f（x）=2x-3.f（x）=0 x=3/2不∈[-1，1]，不合题意，故a≠0.

下面就a≠0分两种情况讨论：

（1）当f（-1）f（1）≤0时，f（x）在区间[-1，1]上至少有一个零点，即（2a5） （2a-1）≤o，解得1/2≤a≤5/2.当f（-1）f（1）>0时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点的条件是f（-1/2a）f（1）≤o或f（-1/2a）f（-1）≤0，

-1<-1/2a<1，

f（-1）f（1）>0，

解得a>5/2.

综上，实数以 的取值范围为[1/2，+∞）.

从以上思考结论的演变过程可以看出，研究函数零点的每个结论都离不了函数图象，这是函数中一种非常重要的思想，即数形结合思想，它比具体的数学知识具有更强大的抽象性与概括性，所以我们加强对数学思想方法的运用意识，有利于优化认知结构，活化知识，提高解决问题的能力.