立体几何中探索性问题的求解策略

刘卫东

在立体几何试题中，探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，是高中数学最难掌握的一类问题，它既能突出以能力立意为核心的命题原则，又能开发学生的思维和解决问题的能力.一般情况下探索性问题主要是针对平行、垂直关系以及二面角的探索，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般是根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定结论，立体几何中的探索性问题主要包括以下三类：条件追溯型、存在判断型、结论探索型，本文通过探索性问题一题多解的方法来阐述解题策略，使学生的解题能力有所提升.探索性问题的求解步骤为：

第一步，写出探索的最后结论；

第二步，证明探求结论的正确性；

第三步，给出明确的答案；

第四步，反思回顾，查看关键点、易错点和答题的规范性、完备性.

当然也可以按类似分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”.下面我们来看具体的例题.例 如图1，在三棱柱ABC-A₁B₁c₁中，AA₁⊥平面ABC，E在线段B₁C₁上，B₁E=2EC₁，BC=1，AC=CC₁=2，AB₁=3.

（l）求证：BC⊥AC；

（2）探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A₁ABB₁？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由.

由AA₁⊥平面ABC?BC⊥AA₁，进而证明BC⊥平面AA₁C₁C得到结果.

（2）信息提取：B₁E=2EC₁，

F在线段AC上，满足EF∥平面A₁ABB₁.

破题思路：技巧一 假设存在，利用空间向量进行计算得到点的坐标，达到题目所要求的结果，但要注意直线平行于平面必须是直线的方向向量与平面的法向量垂直.（空间向量解决问题的优点是利用向量计算得到所要的结果，但是它的缺点是要求准确地找到坐标以及准确的运算，否则就会前功尽弃）

技巧二 假设存在，由E是B₁C₁靠近C₁的三等分点，猜想F可能是AC且靠近C的三等分点，通过假设确定F的位置，即取AF=2FC，再证明EF∥AM.（给中点找中点，给等分点找等分点，利用等分点之间比例得到直线与直线平行）

技巧三 假设存在，通过假设确定F的位置，即AF =2FC，BN=2NC，再证明平面EFN∥平面AA₁B₁B.（要得到直线与平面平行，可以通过平面与平面平行得到）

所以点F在靠近C的三等分点处.

策略二：线平行于面，可以通过线平行于线得到，线平行于线最常见的方法是三角形的中位线平行、平行四边形的对边平行.（其中解题技巧要牢记：给中点找中点，即三角形的中位线；给等分点找等分点，利用等分点之间线段成比例，得到线线平行）

审题视角 在A₁B₁上取点M使B₁M=2A₁M，由B₁E=2C₁E得EM∥A₁c₁且EM=2/3A₁C₁（或直接作EM∥A₁C₁交A₁B₁于M），连结AM，推导出四边形EFAM是平行四边形，从而EF∥AM，由此能证明EF∥平面A₁B₁BA.

解答过程 当AF=2FC时，EF∥平面A₁ABB₁.

理由如下：在平面A₁B₁C₁内，过E作EM∥A₁C₁交A₁B₁于点M.

因为B₁E=2EC₁，EM∥A₁C₁，

所以ME=2/3A₁C₁

因为AC =A₁C₁，AC∥A₁C₁，

所以ME=2/3AC， ME∥AC.

又因为AF =2/3AC，

所以ME=AF，ME∥AF.

所以四边形AFEM为平行四边形.

所以EF∥AM.

因为AM?平面AA₁B₁B，EF?平面AA₁B₁B，

所以EF∥平面AA₁B₁B.

策略三：線平行于面，可以通过面面平行得到，利用两平面平行，其中一个平面内的线平行于另一个平面即可证得.

审题视角 过E作EN∥BB₁交BC于N，连结FN，可得EN∥平面A₁ABB₁，再证FN∥平面A₁ABB₁，得到平面EFN∥平面A₁ABB₁，则有EF∥平面AA₁B₁B.

解答过程 当AF=2FC时，EF∥平面A₁ABB₁.

理由如下：在平面BB₁C₁C内，过E作EN∥BB₁交BC于N，连结FN.

由EN∥BB₁，BB₁?平面AA₁B₁B，EN?平面AA₁B₁B，

则有EN∥平面AA₁B₁B.

因为EN∥BB₁，B₁E =2EC₁，

所以BN=2CN.

又因为AF=2FC

所以FN∥AB.

因为AB?平面AA₁B₁B，FN?平面AA₁B₁B，

所以FN∥平面AA₁B₁B.

又因为FN∩EN =N，

所以平面EFN∥平面AA₁B₁B.

因为EF?平面EFN，

所以EF∥平面AA₁B₁B.

解题反思

本题求解时常出现的四种错误：

一是对探索性问题的求解思路不明；二是在证明平行关系时，线面关系表示不清；三是线面平行中会丢掉线在面内、线在面外的表达语句；四是利用空间向量解决问题时，求直线方向向量和平面法向量的运算一定要准确无误，否则可能会导致结论错误，

立体几何中的探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，有利于培养同学们探索、分析、归纳、判断、证明与实践等方面的能力，使大家经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程，其类型多样，解法灵活多变，本文通过立体几何中的探索性问题的解题策略，谈了一些自己的看法，希望对同学们有所帮助.