对多条代数曲线光滑连接问题的探究

加入图形计算器社团后，我尝试用绘制多个函数图形的方法制作出一条鱼的形状.第一幅图绘制完成后我非常开心，因为这是我第一次成功用图形计算器做出东西，但是这条鱼看起来总感觉有一点别扭.仔细观察后发现，是因为使用了多段二次函数的图象，但是在连接处并不平滑，造成图形看起来十分生硬.

问题：怎样完美处理多条二次函数曲线端点处的平滑？

为了能让图形看起来更加流畅连贯，我想能否使用三次函数来减少函数的连接次数，使函数图象看起来更加流畅呢？因此我开始着手研究三次函数.

探索1：二次函数y= ax2+ bx +c乘上（x+d）得到三次函数

把二次函数 f（x）=ax2+bx+c乘以（x+d）得到三次函数g（x）=（ax2+bx+c）（x+d）.我发现当二次函数、f（x）的△=0时，三次函数g（x）一定和二次函数f（x）相交在f（x）的顶点处（图1）；当二次函数f（x）的△>0时，三次函数g（x）和二次函数f（x）有三个交点，有一个是x+d =1时对应的点，另外两个点是二次函数f（x）和x轴的交点（图2）；当二次函数f（x）的△<0时，三次函数g（x）和二次函数f（x）仅有一个交点，即x+d=1时三次函数对应的点（图3）.然而这些发现，并不能完全帮助我快速地通过图象写出对应的三次函数.我就继续上网查找有关三次函数的各类资料.

探索2：利用图形计算器定点求出三次函数表达式

通过网络上关于三次函数的自学，发现三次函数是一片广大的数学领域，这在我未曾接触前，是无法想象的.它带给了我震撼和全新的感觉，我开始认真地学起来，了解三次函数的图象性质、对称中心、盛金公式、卡尔丹公式.在看盛金公式时，我看到第二步用导数化简，我就琢磨导数义是什么，好奇心驱使下我义查了许多关于导数的资料，更是让我进入了另一片奇特的世界.经过不断的学习我终于对三次函数、导数等知识有了一定的了解.

但是具体作图时，在使用几个点模拟曲线的过程中，还是遇到了不少的困难.比如俞超同学他要做蓮花需要在好几个地方作圆，但是他用r=a作圆只能以原点为同心，无法移动.这也让我意识到鱼的眼睛只能做在原点而不能移到其他地方去.共同的问题，可以共同解决，老师在得知这个情况后，为我们补讲了网的参数方程，我们才知道只要用圆的参数方程，就能把圆的圆心移到任何想要的地方去.说也奇怪，平时学新知识，总不会那么快接受和顺利运用，但这次在图形计算器的帮助下，很快地，我们都能得心应手地面出需要的图形了.我也把我遇到的问题拿去和同学交流.施同学认真耐心地一步一步教我如何用图形计算器的统计功能得出函数.先在图形中找到函数经过的几个点，然后记录下来，用统计中的calc功能选择想要模拟的函数（如图5）.

学会这个以后，简直如虎添翼，我以前十几分钟才能得到的函数，用图形计算器的统计方法，只要几分钟就算出来了.在不断努力下我成功用三次函数改进了图形，做出来的图形看起来果然比一开始用二次函数做的流畅许多（如图6）.

探索3：利用端点处两侧导数逼近相等处理曲线的光滑度问题

前面使用三次函数来减少函数的连接次数，使函数图象看起来更加流畅，虽然起到了一定的效果，但是并未从根本上解决多个曲线连接时端点处的光滑度不够的问题.老师了解后提示我用导数方法来处理，就是利用端点处两侧导数逼近相等，可以让端点两侧曲线的斜率分别左右逼近相等，那么在图形上的表现就是光滑的.

因为在制作图形时经常使用二次函数，所以先从如何使二次函数连接处导数相等开始探究.

开始我以为这个问题很简单，只要求导数，再让导数相等就可以.但在实际操作中，发现要使想要的图形导数相等很困难，因为很可能出现图形是我想要的但其连接处导数不相等，连接处导数相等的图形却不是我想要的情况.一开始我的思路是先使得连接点处的导数相等，再以此来调整函数的图形，可是用这个方法令导数相等不难，但要使图形变成我想要的就只能硬凑，不断调整，不仅麻烦，而且效率低.

为了寻找更简单易行的方法，我思考能否先把想要的图形大致求出，然后通过导数相等对图形进行微调，最后达到连接处导数相等的目的.

在具体的操作过程中，两个函数明显变量过多，不易于操作，我们首先可以用图形计算器的统计功能得出函数，先在图形中找到函数经过的几个点，然后记录下来，用统计中的calc功能选择想要的函数，图形计算器就可以快速地算出你想要的函数表达式.这样就可以利用图形计算器定点求出二次函数表达式功能，再利用（*）式，对已知的函数进行微调，从而使端点处导数值相等.

收获：图形计算器让我愿意主动挑战未知

对图形计算器的研究，激发了我对数学的兴趣，渐渐让我对它爱不释手了.我从以前的被动学习变为现在的主动学习，也很愿意向未知的领域探索.这让我想起了我一个初中的同学，他非常喜欢数学.初三时，大家都在紧张复习，他则在找高中的数学书和各种关于数学的课外书看.每天都会向其他同学讲述他昨天学到的数学知识，当时我觉得他傻傻的，但现在我明白了他是为了喜欢而学习，而我是为了学习而学习.在图形计算器社里我对此深有体会，当自己喜欢和好奇时，就会不由自主地去学习.

点评 张宾心同学写这篇论文时，尚未接触导数这一内容.端点处光滑问题的处理，涉及微分的知识，是有较大难度的，但是，使用图形计算器研究图形让他对学习产生了巨大的兴趣，为了能够找到方法解决问题，他从学过的知识入手，对问题进行初步探究，并通过搜索网络知识和询问老师，自学三次函数和导数的知识，较好地解决了这一问题.问题，是数学学习的灵魂；兴趣，是支撑我们前行的动力.让我们时刻怀抱一颗好奇心，去探知我们未知的世界.