借题发挥用策略，讲评效率有提升——例谈普通高中数学作业讲评课的有效教学策略

☉浙江省诸暨学勉中学 潘 波

在普通高中数学教学中，作业是学生进行学习最基本的活动形式，学生数学概念的形成、数学知识的掌握、数学方法与技能的获得、学生智力和创新意识的培养，都离不开作业这一基本形式.我们也知道作业讲评课的教学作用：一是巩固概念、规律，反馈信息，了解教学效果；二是深化、活化知识，培养思维品质，提高应用能力；三是训练科学表达能力和严谨的逻辑思维能力，作业讲评课中的习题研究，侧重于对比总结、联想迁移、活化知识，从而提高学生的发散思维、聚合思维，提升他们的解题能力.然而在作业讲评课教学实践中，课堂单调乏味，效率低下是一个不争的事实.

长期以来，高中数学作业讲评是很多数学老师的困惑，没有优美的情境导入，没有精彩的预设，作业中的习题也是学生已经做过的，如果教师再“就题论题”，势必造成学生没有新鲜感，思维形成惰性，整个课堂往往显得沉闷，而且“就题论题”效率不高，忽视了知识间的联系，不利于学生认知结构的优化，这是与新课程理念相违背的.如果教师能够适度“借题发挥”对所讲的习题进行一定的变式拓展或是展示不同的解法，不仅可以让学生成为课堂的主人，而且还能使学生对所研究的问题有更深刻的认识.

一、借题发挥式作业讲评课教学的理论依据

教师可以从学生的作业中发现学生学习中存在的问题，而作业讲评则是解决问题，完善、优化学生认知结构的必要环节.在课堂中教师引导学生探究发现题目的相似特征，使他们在问题的导向下，积极主动探究，发现规律，完成对题目的解答.其理论依据主要有以下几方面：

（一）心理学依据

心理学认为，人在气质、性格、能力、知识和智力的发展水平上都存在着个别差异，一个班几十个学生，分别具有不同的心理发展水平、不同的学习成绩和知识基础、不同的个性特点.借题发挥式教学中的不同策略设计，就是为了适应学生认识水平的差异，根据人的认识规律，把学生的认识活动划分为不同的阶段，在不同的阶段完成适应认识水平的教学任务，通过逐步递进，使学生在较高的层次上把握所学的知识.

（二）教育学依据

由于高中学生基础知识状况、学习方法等存在差异，接受教学信息的情况也就有所不同，所以教师必须从实际出发，因材施教，才能使不同层次的学生都能在原有程度上学有所得，逐步提高，最终取得预期的教学效果.

二、借题发挥式作业讲评课教学中应用策略实例

（一）适当增加设问，以提高作业题利用率

例1已知（fx）=2cos2x+sin2x+a（a∈R，a为常数）.

（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；

本题是三角函数综合练习题，主要考查三角函数恒等变形以及y=Asin（ωx+φ）+B的性质.在作业讲评课上，除了分析了学生的错解外，在此题的基础上又增设了几个问题：

（3）求f（x）的单调区间以及f（x）图像的对称轴和对称中心；

（4）在（2）的条件下f（x）的图像经过怎样的平移和伸缩变换后得到y=sinx的图像？

通过沿用原题的条件，适当增加设问，这样的“借题发挥”可谓是“短、平、快”，提高作业的利用率，加快课堂的节奏，加大课堂的容量，并使得每一位学生都能在这道题目中得收获.

（二）巧妙一题多变，以揭示所设问题本质

题目出处为浙江省教育厅教研室编写的《浙江省普通高中新课程作业本—数学》必修1·人教版第33页能力提高第11题.

作业讲评中，在本题的基础上给出以下变式题：

例3 求函数y=4x-2x+1+2，x∈［1，2］的值域.

从例2到例3，其实就是一种感性思维上升到理性思维的过程.没有例2那么直观，特征那么明显，所以例3中的一个结构需要学生理性地去思考和辨别，当然通过例2的讲解，例3的突破变得容易起来.

从例3的变式体现在用整数指数幂的运算性质来掩盖一次项，那么例4有了创新，通过用整数指数幂的运算性质来修饰二次项，使其系数不为1.所以告诉学生在做作业时，要注意观察所给题目的特征，然后带着理性或创新思维去解题.

（三）构造一题多解，以优化解同题的方法

例5 若x2-ax+3≥0在x∈［1，3］上恒成立，求a的范围.

本题主要考查二次函数在闭区间上的最值以及数学中的转化思想，是一道恒成立问题.讲评中纠正了部分学生直接利用Δ≤0来求解的错误方法，并且与学生一起探究得到了这类问题的多种解法：

（1）直接分类讨论求最值法：设f（x）=x2-ax+3，即f（x）min≥0.

（3）数形结合法：结合f（x）=x2-ax+3的图像予以分析.

通过讲评的机会引导学生从多种角度予以展示，进行多种解法的思路分析和解法的比较，总结不同解法的特点，比较不同解法操作程序的差异，优化解题的方法，当问题的多种解法展示于学生面前时，学生必会主动地去评价方法的繁简，通过内化的过程，吸取各种解法之精华，进而揭示最简或最佳的解法.但应让学生明白通性通法，巧法未必就是好法，不能只追求巧妙解法而忽视了基本方法.

（四）突出多题一解，以提高思维的深刻性

例6 已知A（1，2），B（-1，3），P为直线l：x+y-4=0上一动点，求|AP|+|BP|的最小值.

本题是直线对称问题中的作业题，需要先判断A，B是否位于直线l的同侧还是异侧，若是异侧，可由|AP|+|BP|≤|AB|得到答案；若是异侧，则需先算出A关于直线l的对称点A′，再进行求解.本题主要考查了点关于线的对称点的求法以及对数学问题的转化能力.为了让学生能更好地体会和应用这一方法以及能力，笔者在课堂上给出了以下的一道题目：

这道题目一给出，有些学生觉得怎么把函数的问题放到这堂数学课上来了，有点感觉莫名奇妙，但是用函数求最值的基本方法又行不通，这时通过引导，考虑能否从几何意义的角度来理解这个函数，发现这个问题可以转化为x轴上的点（x，0）到（1，1）、（2，2）的距离之和的最小值问题，与作业中的题目是殊途同归啊！

通过这样的多题一解的变式，可以让学生领会同一数学思想，同一数学方法在不同题目背景下的不同应用，能够加深对数学思想和方法的理解，促进数学能力和数学素养的提升，同时提高了思维的深刻性.

三、借题发挥式作业讲评课教学后的反思和体会

高中数学作业讲评课的教学是高中数学课堂教学的一种重要形式，通过作业讲评课的教学，可以帮助学生巩固基础知识，消除知识应用中的困惑，发现对知识、方法应用时的生疏，纠正解题中存在的问题；深化和活化所学的知识；并能达到梳理知识结构、完善知识系统、熟练知识应用，培养学生思维能力，最后促进学生解题水平的提升.

在作业讲评过程中把相同知识归一，不同知识对比的方法进行点评，学生从“异”的表象中发现“同”的本质，从“形似”的表象中发现“质异”的本质.在认知冲突和方法比较中，消除了思维定式的影响，对培养学生数学解题能力很有用处.因此在作业讲评教学中，适当增加设问，巧妙一题多变，构造一题多解，突出多题一解，运用这样的讲评策略，我们的作业讲评课才会更精彩和高效.W