章丽
等腰三角形是特殊而又十分重要的三角形,一直受到各地中考命题者的青睐.同学们往往会因为考虑不全面而出现解答不完整的情况.在解决这类问题时,常常少不了关于角(顶角或底角)、关于边(腰或底边)的分类讨论.本文就从“角”的角度入手关注几例:
【例1】(2017·浙江丽水)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是________.
【解析】等腰三角形的一个内角为100°,100°角是钝角,因此只能是顶角,不能为底角.故例1答案为100°.
【例2】(2018·浙江义乌改编)等腰△ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
【解析】等腰△ABC中一个内角∠A为80°,所以当∠A为顶角时,则底角∠B=50°;当∠A为底角时,∠B可能是顶角,也可能是底角,则∠B=20°或80°.故答案为50°或20°或80°.注意本题有两个层次的分类讨论.
【归纳】对于一个等腰三角形,若条件中并没有明确顶角或底角时,应注意分类讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解.
【例3】(2018·黑龙江哈尔滨)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD.若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为________.
【解析】根据等腰三角形的性质可以求得∠B=∠C=40°,类比等腰三角形确定顶角“身份”,则直角三角形要确定直角“身份”,如果无法确定,则需分类讨论.所以已知△ABD为直角三角形,则直角可能是∠ADB或∠BAD.如图1,当∠ADB=90°时,则∠ADC=90°;如图2,当∠BAD=90°时,则∠ADB=50°,∠ADC=130°.故答案为90°或130°.
【例4】(2018·湖北武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是________.
【解析】∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,AB=AD=CD=DE=AE,但不确定等边△ADE在正方形的内部还是外部,故需分成两种情况分别求解.如图3,∠BAE=∠CDE=150°,得∠AEB=∠CED=15°,则∠BEC=30°.如图4,∠BAE=∠CDE=30°,得∠CED=∠ECD=75°,∠ABE=∠AEB=75°,则∠BEC=150°.故答案为30°或150°.
解决与图形相关的问题时,常会出现图形中相关元素的“身份”不确定,或图形位置的不确定等情况.我们首先需要认真审题,逃出“陷阱”,然后锁定合理的分类标准,对各种情况逐一进行讨论求解,做到不重不漏.
(作者單位:江苏省无锡市水秀中学)