数学模型思想的课堂培养研究

韩加坤

（海警学院 基础部，浙江 宁波 315801）

地方高校的社会责任是培养优秀的应用技术型人才；行业院校的目标是培育满足行业发展所需的专门人才.企业或行业要求毕业生掌握扎实的基础知识的同时兼具实用与特色.高等院校希望学生通过对知识习得过程的历练，养成工作及社会生活中需要的各种能力.

在各项能力的培养中，模型思想举足轻重.数学建模是连接抽象的数学与多彩世界的桥梁.从提出问题，思考、提炼问题，到用数学语言描述问题，解决问题并指导现实生活的这种方法即为模型思想.作为公共基础课的数学课程，在模型思想的构建过程中具有十分重要的作用.

1 高等数学课堂教学现状及教改情况

现在的高等数学课堂教学以讲授法为主.教师大多采用多媒体课件授课，课堂以教师为主导.学生听课过程中如有疑问，举手，教师现场解答，学生课后复习，做作业，预习.这是一种不利于学生能力养成的授课方式.

许多教师在尝试改变这种课堂教学状况，来提高知识、能力传承的效率.以学生为中心，教师从利于学生接受的角度备课，即达到“有效教学”[1]的目的.从提高学生数学核心素养[2]的视角，有学者研究了抽象、推理与模型思想在学生课堂学习中的重要地位.在他们的研究文章中，均提到了数学模型思想在学生能力培养中的独特作用[3].

2 模型思想课堂培养的必要性

数学建模训练被认为是提高学生创新能力最有效的方法.该过程成功的把现实问题、数学知识与计算机技术有机地融合在一起，让学生在用数学的过程中充分认识了数学的实用性.但对大部分非数学专业的学生而言，他们的培养计划中不会开设数学建模课程.为了提高模型思想在学生能力培养中的贡献，数学教师需要在学生四年学习时间里寻找合适的时机，对建模类内容进行及时补充.大部分院校会以选修课的形式实现，主要面向知识储备相对成熟的大三学生.通过系统培训，学生可以组队参加各类建模竞赛.每年的竞赛获奖学生成长为优秀毕业生的概率明显高于平均水平，可见模型思想的益处.

学习建模课程的学生比较少.因大部分同学害怕了数学课程的抽象，不会主动选修建模课程.同时，由于名额的限制，致使想要选课的同学只有少部分能成功选修.

鉴于此，数学类公共基础课教师应该积极行动起来，适时的在课堂上给学生播下数学建模思想的种子.讲课过程中，通过生动的现实事例，让学生了解建模的基本方法步骤.通过课堂实践，提高学生的课堂参与度，督促学生思考，真正提高学生的抽象、演绎能力.同时，通过专业案例的引入，还可以缩小数学与专业的距离，帮助学生养成用数学语言思考专业问题的习惯.

3 备课案例

案例库建设的质量将直接影响授课的效果.就《高等数学》课程而言，按知识类型划分，案例库大致可以分为极限类、导数微分类、积分类、微分方程类、级数类等.以下以军事类专业为例，给出几个实战类案例.

例1（战斗机着陆曲线） 导函数的作用与意义

step1提出问题

完成任务后返航的战机接近机场准备降落，请帮自动驾驶系统设计一条合理的战斗机着陆曲线.

step2分析问题

经过查阅资料，飞机的着陆曲线是一条三次抛物线，设该函数为y=ax3+bx2+cx+d，系数待定.

step3数学问题

设飞机的已知飞行为h,与机场的水平距离为d.建立笛卡尔坐标系，x为水平方向，y为竖直方向，着陆点为坐标原点.

step4求解数学问题

由飞机的飞行轨迹可知：y(0)=0,y(d)=h,

由飞机的姿态可知：y'(0)=0,y'(d)=0,

step5结果分析

图1 着陆曲线（h=1,d=2）

由图1可知，该曲线先凸后凹，二阶导函数连续，比较光滑，能保证战机飞行的平顺性.

例2（舰船横向液货补给软管[4]形状） 微分方程的求解

step1提出问题

现代军舰无论是在战争状态还是日常训练状态，物质消耗巨大，弹药、油、水、食物补给任务艰巨.为提高补给效率，需设计满足补给任务强度的补给软管及补给支架.请为设计师描绘出软管的形状.

step2分析问题

相对于军舰的体积，补给软管可以近似为一条曲线，且该曲线处处受力平衡.

step3数学问题

求一条两端固定的不可伸缩的软绳在重力作用下所呈现出的形态所满足的方程.

step4求解数学问题

设曲线如图2所示，A为曲线的最低点，M为曲线上任意一点，ρ为曲线的线密度，s为曲线段AM的弧长，|OA|=a.

图2 补给软管受力分析

设A点所受的水平张力为H，M点所受的切向张力为T.对M点做受力分析可知水平方向：Tcosθ=H 竖直方向：Tsinθ=ρgs.

step5结果分析

悬链线是高压输电线、桥梁拉索等工程中比较常见的曲线，通过对其方程的求解，加深学生对它的印象.在该曲线的求解过程中用到了受力分析、二阶可降阶微分方程等方面的知识.

4 总结

数学类公共基础课在讲授数学知识、锻炼学生逻辑思维能力的同时，增加对学生后续专业课的关注，将有利于学生专业课程的学习.模型思想的引入能够让学生在成材的道路上更加顺利.符合专业的实战案例，将会使数学课程更加生动多彩.