基于概念认知，回归基础练习

罗梅兰

三角形面积计算是小学数学中的一个重点。从数学整体视角来看，任意一个多边形都可以从其中一个顶点出发，引出多条对角线来将图形分割为多个三角形。因此掌握了三角形面积的计算便可以解决多边形面积的求解问题。

一、课堂教学过程

关于三角形面积的求解，教材中的一致思路就是：通过将两个全等三角形拼成一个长方形或平行四边形进行推导。这个方法是最为简单的，学生们理解起来也非常直观。根据这一思路，在教学中笔者试着逐步引导学生通过以下三种方式推导三角形的面积公式。

第一，实物拼接。拿两个完全相同的锐角三角形，让其中相等的两条边重合，把两个三角形连在一起，正好拼成一个平行四边形。平行四边形的一条边相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，所以得出这个锐角三角形的面积就是平行四边形的一半。

第二，剪拼。在一张长方形的纸上画出一个最大的等腰锐角三角形，然后把纸上剩余的两个空白部分剪下来，拼在我们画的锐角三角形上，可以发现拼起来的三角形和之前所画的锐角三角形完全重合，所以得出这个锐角三角形的面积是长方形面积的一半。这个长方形的宽相当于锐角三角形的底，长方形的长相当于锐角三角形的高。

第三，割补法。把等腰三角形拦腰剪开，将三角形转化成平行四边形。平行四边形的高=三角形的高÷2，因此平行四边形面积=三角形面积=底×三角形的高÷2。

以此类推，我们又分别用直角三角形和钝角三角形进行了验证，学生们对于“三角形面积是长方形或平行四边形面积的一半”的认知接受得非常好，对于面积公式的理解也很到位。

二、授课后出现的问题

课堂上学生们学习的气氛很好，知识掌握也不错，但是在随堂练习及课后作业中暴露出两点问题：一是对“底”和“高”的认识比较片面，虽然多种转化方法都显示三角形面积是长方形或平行四边形面积的一半，但是很多学生对“等底等高的三角形面积相等”这个概念还是不理解；二是形象思维不能有效地向理性思维过渡，对面积公式中的“二倍关系”不能建立理性认知。

例如：平行四边形底边的中点是A，平行四边形的面积是48 cm2，求涂色的三角形的面积。（图1）

在此前的教学中，学生们知道三角形面积=底×高÷2，但在这个问题中，底和高都是未知的，于是很多学生只求出平行四边形面积的一半是24，但对于涂色三角形的面积是“24÷2=12”就不能理解，他们没有发现涂色三角形与它旁边的细长三角形面积存在相等关系。这就说明学生们对于“底”和“高”的认识比较片面，对“等底等高的三角形面积相等”这个概念更是不理解，对数学问题的理解单纯停留在了形象思维层面，而没有对面积公式建立理性的认知。这样的僵化思维容易让问题解决的过程更加繁琐。三角形面积的求解离不开“底”和“高”，只有正确认识这个知识点才能掌握这部分内容。

三、授课反思

在最初的授课过程中，笔者采用过数方格的方式对这部分内容进行讲解，数方格的方法工作量大，而且学生的推理能力得不到锻炼。于是在参考了其他教师的教学意见之后，笔者开始采用实物剪切、拼接与割补的方式来授课，通过这样的方式，学生们从“数”与“形”的角度都形成了理解。但是在剪切、拼接和割补的过程中，学生们对“形”的理解都占据主要地位，而弱化了对量的理性分析。自然就容易出现类似例1的问题。

基于上述思考，笔者决定改进设计，再从数方格的角度帮助学生巩固新知。

四、课程后续设计

在学生完成三角形面积公式的推导后，笔者结合数方格的方式给学生们设计了一道新题目。取一张由相同的小正方形构成的网格纸，在上面绘制不同形状的三角形。第二节课上课前，笔者把这张纸发放给学生们，并告诉他们：“纸板上有五个形状各异的三角形（如图2），请大家自己绘制三角形的高，然后量一量、算一算这些三角形的面积分别是多少，并把所得数据进行记录。”

学生们拿到纸板，就迅速开始计算。有的学生非常善于观察，他们发现了三角形之间等高的性质，在下面小聲说：“它们面积相等。”还有的学生仔细地绘制高，量边长，测高度，他们中间有不少以长边做底，绘制高。

很快学生们就计算出了结果。笔者问学生们从中发现了什么规律，学生们回答：“前四个三角形面积相等。”其实，笔者在这张图上做了一些处理，最后一个三角形的底边比其他几个长了一小格。这时候，之前一看图就说它们面积相等的学生才发现最后一张图的玄机。先入为主，也是小学生常常犯的一个错误，粗心大意，想当然地认为结果是多少，却不认真观察和计算，所以就常出错。

很多细心的学生在上面的练习中分别以各个边做底，再找高来测算面积。笔者从中挑选了几位学生的作业呈现在大屏幕上，让学生们比较其异同。对比之后，学生们发现：以短边为底来做高，在计算三角形面积的时候可能更容易，尤其对于钝角三角形，从外部做高，很多时候计算起来更加简便。

五、结语

三角形的面积是小学阶段学习的重点，通过探究、归纳、总结，学生们很容易由特殊到一般，得出三角形面积的计算公式，但在实际应用中，很多学生又会出现应用不够灵活的现象。从概念出发，多做基础练习，完善数学思维，能使学生建构的三角形知识框架更加清晰、明了，不仅掌握了知识，还掌握了探究学习的方法，为以后进行问题探究奠定基础。

（作者单位：福建省闽侯县实验小学）