利用几何画板辅助指数函数教学的案例分析

祝佳佳

【摘要】在指数函数教学中，利用几何画板辅助作图，以动态、直观的形式引导学生观察、思考、总结、归纳，不仅激发了学生的学习兴趣，还大大提高了学习效率.几何画板作图还可以推广到对数函数和幂函数的教学中，更好地促进函数的教学，实现高效课堂.

【关键词】几何画板；指数函数；教学

函数是高中数学最重要的内容之一，但由于其抽象性强，多数学生难以理解.教学大纲要求学生能从函数图像中提取信息并运用这些信息解决问题.在传统教学模式中，教师徒手绘图问题不少，比如，耗时、多个函数在同一坐标系中图像杂乱、参数变化时函数图像的变化情况难以动态显现出来等.如何解决这些问题？笔者借助几何画板，动态、直观展现函数图像，引导学生观察、思考、总结、归纳.现结合“指数函数及其性质”的教学设计浅谈几何画板在函数教学中的辅助作用.

一、教学内容分析

“指数函数及其性质”是人教版普通高中课程标准实验教科书《数学必修1》第2.1.2节.考虑到笔者所执教班级学生数学基础差，将本节分两个课时，第一课时研究指数函数的概念、图像及性质，第二课时研究指数函数应用.本文案例是第一课时.指数函数是很重要的基本初等函数，不仅是后面学习对数函数和幂函数的基础，而且在生产生活中应用广泛，因此，需要重点研究.

二、学情分析

此前学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法以及函数的性质.已了解函数有多种表示方法，常见的有解析式和图像法.初步懂得这两种表示法可以结合起来研究函数，即我们常说的“数形结合”.但是还没有应用此法对一类函数进行过深入分析，而指数函数刚好给学生一个应用的机会.

三、教学目标

1.理解指数函数的概念，感受什么是指数爆炸增长.会用几何画板画具体的指数函数的图像，同时会通过列表描点连线的方法画底数为2，12等较为简单的指数函数的大致图像.

2.借助几何画板，通过观察不同底的指数函数图像，分类并归纳、总结出指数函数性质，由感性认识上升到理性认识.同时，培养学生自主探究、团队协作的能力.

3.能利用指数函数相关知识解决简单的数学问题.

四、教学重难点

重点：指数函数概念，指数函数性质及研究方法.

难点：借助函数图像研究函数性质；指数函数性质.

五、教学过程设计

（一）情境创设

问题1：如果1号同学在自己的本子上画2个圆点，2号同学在自己的本子上画4个圆点，3号同学画6个，按照这样的规律，8号同学该在自己的本子上画多少个圆点？

问题2：如果1号同学画2个圆点，2号同学画4个，3号同学画8个，4号同学画16个，按照这个规律，8号同学该画多少个圆点？

设计意图：《必修1》2.1节开头提出我国GDP的增长问题和生物体内炭14的衰减问题，这让学生感受到指数函数和生产生活有紧密联系，但也让学生感到复杂烦琐，望而却步，比如，這两个问题涉及的函数分别为y=1.073x，x∈N*，x≤20和P=12t5730.因此，创设情境，一来调动全班同学学习积极性，二来让学生在问题情境中感受到一次函数和指数函数的不同.特别地，以如下表格形式呈现问题1，2的结果，对比发现问题2中随着学号增加，圆点个数增长比较厉害，让学生感受到指数函数爆炸增长.

问题3：在上述问题中，如果学号x的同学应画圆点个数用y表示，那函数解析式分别是什么？

设计意图：尝试让学生写函数解析式，为学习指数函数的定义做准备.根据经验，定义域是学生容易忽略的问题，可通过分析学生的不同结果，提醒其注意定义域.

（二）探索新知

1.指数函数的定义.

问题4：《必修1》第2.1节开头的问题1和上述问题2的函数解析式分别是y=2x，x∈N*，x≤80和y=1.073x，x∈N*，x≤20，是函数家族的新面孔吧？它们的形式相同吗？能给这类函数一个类似于一次、二次函数的一般形式，并给它起个名字吗？

设计意图：让学生发现此类函数的特征并尝试命名，激发学生兴趣，加深学生对指数函数形式的理解.学生很快能写出y=ax，教师强调：底数是常数，自变量在指数位置.

问题5：对于指数函数模型，在实际中我们希望自变量x可以任意取值，在这个前提下底数a可取任意实数吗？

设计意图：经过自主思考和合作交流，同学们会根据“负数没有偶次方根，零的负分数指数幂不存在”得到a>0.但是为什么又规定a≠1呢？当a=1时y=1x这个函数确实存在，但由于y=1x即y=1，x∈R，是常函数，不再归为指数函数.通过生生互动和师生互动，得出形如y=ax（a>0且a≠1）的函数叫指数函数，加深学生对底数限制条件的印象.教师通过数轴巧妙地把底数a的范围转化为a>1和1>a>0，为下面学习指数函数性质时如何进行分类讨论做铺垫.

问题6：判断下列函数是否为指数函数？

设计意图：注意对底数a的限定，并注意利用指数幂的运算性质化简后再观察其形式.

2.指数函数的图像及性质.

根据学生的认知规律和思维习惯，按照动手操作，观察猜想，几何画板作图验证猜想的思路进行教学.

（1）动手操作.

问题7：同学们还记得画函数图像的方法吗？请奇数学号的同学在同一直角坐标系中画指数函数y=2x和y=3x的图像，偶数学号的同学在同一直角坐标系中画y=12x和y=13x的函数图像.

设计意图：对于底数比较简单的指数函数，让学生通过列表、描点、连线的方法画函数图像，这是学生画指数函数大致图像的最基本的要求.展示同学们的画图结果，发现奇偶号同学的图差别较大，引发学生思考底数对图像的影响.

（2）观察猜想

问题8：观察这四个指数函数的大致图像，它们有什么共同点和不同点？指数函数有什么性质？

设计意图：让学生通过观察图像分析指数函数的性质.

（Ⅰ）图像都过点（0，1）；

（Ⅱ）函数定义域为R，值域为（0，+∞）；

（Ⅲ）a>1时，函数图像呈上升趋势，即函数在R上单调递增；1>a>0时，函数图像呈下降趋势，即函数在R上单调递减.

（3）利用几何画板作图验证猜想.

（Ⅰ）教师利用几何画板演示

由于底数a可取任意大于0且不等于1的实数，因此，在几何画板中对a设置滑动条，即用一端固定于x轴的竖直线段的长度表示a的值，当鼠标拉动滑动条变长变短时，a的值就随着变大变小，而a的值和对应的指数函数y=ax的解析式则一一显示在几何画板中，方便同学们观察a取不同值时函数y=ax的图像.如图1所示，当a>1时，从上到下拖动滑动条，随着滑动条长度越来越接近1，即a的值越来越接近1，图像就越来越接近直线y=1，特别地，a=1时图像就是直线y=1.同时，a>1时，图像呈上升趋势，并且a值越大，在第一象限内的图像越接近y轴.

同样的方法，教师演示1>a>0时，a的值和对应的指数函数y=ax的解析式及图像.最后让同学们观察这些图像（图2），发现指数函数的性质，验证自己刚才关于指数函数性质的猜想是否正确.

设计意图：研究同类函数的方法通常是在同一坐标系中，做出多个函数的图像，通过观察和比较得到函数的性质.通过几何画板可以快速绘制函数图像，并能清楚地显示参数a变化时函数图像的变化，使学生更清楚、更直观地发现数学规律，并验证自己的发现和猜测.利用几何画板辅助作图，一方面，大大提高了课堂效率，另一方面，突出了研究函数的方法，突破了重难点.

（Ⅱ）学生利用几何画板绘图.

设计意图：同学们可以亲自利用几何画板绘制任意想要的指数函数的图像，活跃课堂气氛，并借机进一步深化指数函数相关知识，比如，什么是指数增长，经济中的“复利率”以及高利贷为什么那么可怕等等.还可以帮同学们总结指数函数图像和性质的口诀“左右无限上冲天，永与横轴不沾边，大1增，小1减，图像恒过（0，1）点”，提高记忆效率，增强记忆效果.

六、教學反思

本节课的亮点是利用几何画板辅助作图，与传统的手工画图教学比较，利用几何画板辅助函数教学主要有以下优点.

（一）精准作图，省时高效

传统的手工画图耗时、耗力，画简单函数的大致图像时经常用到，但是画任意的指数函数的精确图像很难实现.几何画板可以精准作图，省时高效.

（二）动态演示，形象直观

本节课在研究指数函数的图像和性质时，通过几何画板动态演示底数a变化时的指数函数图像的变化，给学生创设一个直观形象的平台，让学生更快、更直接地发现并领悟指数函数的性质.学生通过观察、思考、总结和归纳，对所学知识从感性认识上升为理性认识.

（三）突破难点、验证猜想

本节课的教学难点是研究一类函数的方法及指数函数的性质.几何画板辅助作图有效地突破了教学难点.事实上，学生自己手工做出两个简单的具体的指数函数的图像后，对指数函数的性质已经有了初步猜想，但不是十分肯定，而通过几何画板可以做出任意的指数函数的图像，由具体到一般，验证了学生的猜想.众所周知，由于函数的高度抽象性，高中生谈“函数”色变，利用几何画板辅助作图帮助他们验证猜想，可以增强学生学习函数的自信心.

（四）激发兴趣、授之以渔

几何画板的应用，引起了学生的注意力，激发了学生学习的兴趣，活跃了课堂气氛.让学生亲自利用几何画板做出任意的指数函数的图像，不仅增强了学生动手操作的能力，还给学生渗透了一种方法，即遇到复杂的难以用手工画图的函数时，可以借助现代信息技术，如几何画板作图.“授之以鱼不如授之以渔”，教给学生方法和思路对学生今后学习数函数和幂函数会有很大的帮助.

总之，在函数教学中，教师可以在手工画图的基础上，结合几何画板作图的优势，更好地促进函数教学，实现高效课堂.

【参考文献】

[1]孙云飞.浅谈几何画板在函数教学中的应用[J].中国教育信息化，2012（8）：59-60.

[2]车锦洋.几何画板优化数学教学的案例浅谈[J].教育现代化，2016（29）：344-345.