探究导数在高中数学解题中的应用

程学祥

【摘要】自从新课标修改以来，导数添加进了标准课程中，因此，它的出现引起了教师们的关注.教师对于高中导数的教学，主要教会学生导数这个解决函数问题极为有效的途径.学生运用导数解决函数问题能够有利于其更好地理解问题，更好地掌握函数，并发展学生的思维.本文将探究导数在高中数学解题中的应用.

【关键词】高中数学；导数；解题；实际应用

对于这几年的高考趋势研究发现，出题人对导数这方面越来越重视，出现的频率越来越高.现代教育提倡素质教育，因此，教师在课堂教学中要能体现出数学的实用性.而导数，不仅一直是学生解题的一大突破点，也是高中数学的难点之一，所以教学应有侧重.

一、高中导数的含义

导数在数学中的地位不言而喻，尤其是微积分方面，是其关键.导数是包含在函数概念中的，具有其基本性质.从高中数学教材上提供的概念来解释，导数表现了函数的变化趋势，在研究高中的一些简单初等函数中时，求导通常可以起到很大作用.高中的导数教学就应围绕这一点来研究，教会学生如何灵活运用导数来解题.

二、导数在数学中的实际运用

（一）求导来判断函数的单调性

在高考题中，求解函数的单调性一直是重中之重.而函数的单调性就是指函数在某一区间内，递增或递减这种变化趋势.假如学生并未学习导数时来解题，则必须画出图像或求相邻两点之差，这种方法不仅复杂费事，而且出错率还很高.而高中导数的教学则为学生打开了函数研究的另一扇窗.引入导数后，学生只需对特定的函数求导后，在特定区间内导数的数值小于0，则函数是单调递减函数，反之则是单调递增函数.因此，从两种方法的对比中我们就可以发现导数是帮助学生研究函数极其有利的工具，能提高解题效率.

（二）用导数解决不等式问题

近年来，高考试题的另一大热点就是不等式.同样的，解决方法有很多种，但是，导数却依旧是其最简洁明了的方法.常见的有将导数与不等式结合来出题.这要求学生能够灵活运用导数来解决不等式问题.教师在课堂上也应做适当强调.而运用导数这一方法的原理就是将不等式问题转化为函数问题，再通过导数来转化为对函数单调性的研究，这样只要判断函数值是否满足条件就可以判断不等式是否成立.以人教版教材为例，第98页的例题3，首先要由题目确定a，b的取值范围，然后求出这个函数的导数.在特定的区间内，再求出导数的数值，就可以得到这个函数的单调性，最后通过比较大小值，就可以证明不等式成立.

（三）通过导数求最值

与其他类型的题目不同，求最值这类题目一般都是出现在高考试卷的末尾，也就是所谓的压轴题.这种题目的目的一般是拉开学生之间的差距.虽然解决方法很多，但在求解部分难题时，用导数来解决此类问题是最为稳妥有效的.并且，采用导数求导常常会打开学生的解题思路，加快解题速度.最常用的方法是利用二次函数求最值后，求得基本的数值.接下来一定要数形结合，解答的过程一定要细心并不断参考之前的步骤，因为只要一点失误，就会前功尽弃，所以这种方法实际上不适用于高考题中.高考题需要用最稳固的方法来求解题目，而导数在解题中可以对函数的单调性精准判断，而学生只需关注最值和关键的区间就行.假如是求解复合函数也可以采用导数，有异曲同工之妙.

（四）通过导数求切线

高考中的第四类问题就是求切线，这类问题难度不大，但是类型众多，假如学生只采用一般的方法来求解，不仅步骤烦琐而且出错率很高.而从导数这方面来解题则会轻松很多.从本质上来说，导数包含在函数内，也就是表示函数的斜率，当学生用导数来求切线问题时，导数的优越性就会展现出来，不仅简单高效，而且出错率极低.这类方法是最适合高考的.随着切线类型的题目在高考中不断被重视，教师应向学生传达导数这一方法的重要性.

（五）求导研究数列问题

数列是中学的重点内容.教师也应多加关注.虽然数列问题类型很多，但是只要掌握了求导解题的核心，就可以迎刃而解.具体是指在解题时将数列看作特殊函数再利用导数求导.学生只要做到这样的问题转化，那么这类题目也就轻松解决.

三、高中导数的变化趋势

随着素质教育越来越普及，教学方式也有所改变.但是导数这类基础内容却一直是数学的侧重点.由于其独特的解题优势和思路，也是高考出题人关注的重点.近年来，导数的难度虽有所下降，但是出现频率越来越高，并且解题要求也越来越高，对学生能够深刻理解并且靈活运用有很大要求，教师平时在上课时一定要让学生明白导数的重要性.

四、结束语

本文主要介绍了导数在高中数学中主要的应用方向以及最主要的几种解题方法，并通过举例来详细解释了导数在高中数学中的具体应用.教师在日常教学中要能灵活地运用导数来教学，通过多种方法来引导学生，开拓学生思路，因此，日常测试、作业中对于导数的练习是很有必要的，通过日常练习才能使学生熟练地将导数运用到学习解题中去.

【参考文献】

[1]余修伟，高海霞.导数在高中数学解题中的运用分析[J].华章，2011（10）：225.