新视域下“余弦定理”的教学设计与反思

陈小勇

【摘要】本文介绍高中代数“余弦定理”的教学设计与教学反思，旨在指导教师的教和学生的学.

【关键词】余弦定理；教学目标；教学重难点；教学过程

一、教学目标

认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现并推证余弦定理，且能简单运用余弦定理解三角形.

能力目标：引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与思维能力，利用数形结合将几何问题转化为代数问题.

情感目标：面向全体学生，创造平等、和谐的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流与合作，调动学生学习的主观能动性，让学生体验成功的喜悦，从而培养学生学习数学的兴趣和勇于创新的精神.

二、教学重难点

重点：探究和证明余弦定理的过程；理解和掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用.

难点：理解勾股定理和余弦定理之间的特殊关系，并以直角三角形为突破口证明余弦定理；对余弦定理的熟练应用.

三、教学过程

（一）复习引入

师：正弦定理的内容是什么？你能用这个定理解决哪些类型的问题？

（学生回答，教师板书）

师：如图1所示，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度.技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的距离，再利用经纬仪测出角C的度数，那么你能算出BC的长度吗？

生：如果∠C=90°用勾股定理就可以算出.

师：对，∠C=90°时，可以算出AB的长度，那么∠C≠90°时，AB的长度是不是应该是固定的？

生：AB的长度是固定的，因为两边及两边的夹角确定了，这个三角形就确定了，所以AB应该是唯一确定的.

师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2.若a，b不变，∠C的大小变化时，c2与a2+b2的大小关系如何呢？

教师鼓励学生积极思考，大胆发言，启发学生解决问题，学生回答，借助于多媒体动画演示结果.

如图2所示，若∠C<90°时，AC与BC的长度不变时，AB的长度明显变短，有c2

如图3所示，当∠C>90°时，AC与BC的长度不变时，AB的长度变长，有c2>a2+b2.

学生得到结论：当∠C≠90°时，c2≠a2+b2.

师：我们已经知道，当∠C≠90°时，c2≠a2+b2.那么c2与a2+b2到底有什么等量关系呢？请同学们继续探究.

教师引导学生分组合作学习，教师也参与各个小组讨论，拿出其中两个小组比较，将比较好的证明和同学一起分享，并让学生代表上讲台讲解.

生1：在△ABC中，a，b的长度不变，∠C的大小变化，我就把C点放在坐标原点，AC放在坐标轴的正半轴上，这样A点坐标就是（b，0），B点坐标（acosC，asinC），这样可以利用两点间的距离公式算出AB的长度，过程是：

从以上分析过程，我们对c2=a2+b2-2abcosC有更清醒的认识，勾股定理是余弦定理的特殊情况，在推出余弦定理中我们就是利用直角三角形到斜三角形的一般到特殊的关系，利用数形结合的方法.

四、教学反思

1.本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，親身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程.

2.余弦定理的发现从直角入手，体现了由特殊到一般的认识过程，运用了分类讨论和数形结合的数学思想.

3.余弦定理表述了三角形的边与角的关系，勾股定理是它的一种特例.用这个定理可以解决“已知三角形的两边及夹角求第三边”和“已知三角形的三边求内角”的两类问题.