例析GGB软件在动态几何教学中的应用

曾飞鹏

【摘要】 动态几何是初中数学重要的教学内容，也是每年中考的压轴问题.以近年广东省中考为例，动态几何问题常常在中考中以几何图形中的动点、平移、旋转、折叠为背景，考察线段、面积的最值，以及运动过程中的特殊位置问题等.图形的变换，要求学生“对图形再认识，在头脑中让图形动起来”，而学生由于在实际生活中对图形的动手操作较少，对动态问题缺乏感性认识.这就需要在教学过程中，特别是初三专题复习阶段，合理利用信息技术工具进行数学实验，将抽象的思考对象形象化、直观化，从而有效提高动态几何教学的课堂效率.本文在《在平板上利用GGB软件探究动态几何问题》课题组研究的基础上，以课题组公开课《动态几何中的面积问题》中的片段为例，简述利用GGB软件的动画功能解决动态几何中的面积问题。

【关键词】 GGB软件 动态几何教学 应用

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）08-122-02

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例题：如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H.

（1）设EF=x，AH=_________，DH=_________，EQ=_________；

（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ與△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式。

一、数据详实，便于猜想

二、动静皆宜，适于分类

GGB软件的动画功能，即可自动播放，也可手动播放，还可以在需要时在图中进行批注，所以适宜用于动态几何中的分类讨论教学。以问题（3）为例，GGB软件的动画功能，在以下几个步骤中可发挥其优势：

1.发现图形形状的变化规律阶段.当教师提问“矩形EFPQ与△ABC重叠部分的形状随着时间t的变化如何变化？”后，虽然学生经过画图，小组合作交流，但是对于平移过程中图形的再认识并不清晰，不能很好地让图形在头脑中动起来.当教师将重叠部分生成阴影，启动动画演示后，模糊的图形形象顿时生动形象，学生几乎可以同时对形状的变化规律加以归纳：五边形→梯形→三角形。

2.制定分类讨论标准阶段.这一阶段经过由形的认识到数的衡量的过程。我们知道分类讨论的依据是：图形的根本属性发生根本改变。那么，重叠部分从何时开始由五边形变为梯形，从何时开由梯形变为三角形呢？对于分类标准的的讨论，是学生最难以把握，教师利用常规教学手段难以达到理想教学效果的一个教学内容。但是，利用好GGB软件的动画功能却可以轻松突破这个难点。首先，从形的角度来研究，教师手动慢速拖动矩形EFPQ，重叠部分形状大致经历了如图2～图6的变化过程，学生很容易发现点P与点C重合时（如图3）重叠部分由五边形变为梯形、点E运动到AC上时（如图5）重叠部分由梯形变为三角形； 其次，从数的角度来研究，由图1易得，初始位置时，PC=4，当矩形EFPQ运动到图3位置即点P与点C重合时，平移距离为4，此时t=4；当矩形EFPQ运动到图5位置即点E运动到AC上时，平移距离即为EF的长，此时t=5；当矩形EFPQ运动到点Q与点C重合时时，平移距离等于EF+PC=9，此时t=9.最后，制定分类标准：①0≤t<4时，②4≤t<5时，③5≤t≤9时。由于GGB软件的动画可以任意回放，教师可以轻松依据图形引导学生注意标准要“不重不漏”对及t=4放于第②种情况，t=5放于第③种情况的实际含义加以阐述 。

3. 求S与t的函数关系式阶段。这一阶段可将动画分别拖到图2、图4、图6位置加以分析。以图2为例，引导学生分析重叠部分的面积等于矩形EFPQ的面积与以点F为直角顶点的三角形面积的差，而该三角形是以t为边长的等腰直角三角形。将动画定格于图2，启用平板或投影上的画笔功能，在相应的直角边上标上对应的长t，这时，求函数解析式这一难点已变为相对简单的计算了。用同样的方法可对图4、图6加以分析，最后，写出S与t的函数关系式：

三、分页显示，一题多变

在初三专题复习阶段，特别是形如动态几何这类压轴题教学，容易出现就题讲题的局面，学生能听懂，但不会运用。而且，因为每个问题的解决都需要一定时间，很多教师陷入一节课讲一个题太少，讲多个题太赶的矛盾之中。解决这些问题，笔者认为适当进行变式教学，既可锻炼学生从不同的侧面去分析问题的能力，又可起到实时练习的作用，使学生灵活扎实的掌握所学内容，还可以使课堂一气呵成，衔接流畅。 而GGB软件可利用显示/隐藏图层脚本来设置对象按页显示，可以在同一个文件使用按钮“上一页”或“下一页”来切换不同的数学对象，从而使得变式教学操作简单易行。如本课在完成问题（1）～问题（3）后，继续追问：

（4）当矩形EFPQ的面积最大时，将△AEF以1个单位/s的速度沿AD向下平移，得△A′E′F′（点A′在高AD上），求平移后的△A′E′F′与矩形EFPQ重叠部分的面积y与平移的时间t（s）（0≤t≤8）的函数关系式。

学生用平板自主播放动画，按图8、图9两种情况分小组完成后，教师用平板将学生的答题情况拍照后，投影到屏幕，加以对比点评。

为了激发学生学习兴趣，教师继续提出一系列思考题：

（5）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以1个单位/s的速度沿DA向上平移，求平移后的矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积y与平移的时间t（s）（0≤t≤8）的函数关系式。

（6）点A、A′关于直线EF对称，.若直线EF沿AD向下平移（点E在边AB上移动且不与点A、B重合），设△A′EF与矩形EFPQ重叠部分的面积为y，线段EF的长度为x.

①求y与x函数关系式；②y是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；如果不存在，试说明理由。

……

总之，在教学中运用GGB软件进行数学实验，将动态几何问题中的图形变化过程直观形象的展示出来，不仅有利于培养学生对图形再认识的能力，还可以进行变式训练，进而开拓学生思维，保证课堂效率，培养学生深入研究数学问题学习习惯。