电磁轴承支承特性分析及优化调节

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(浙江理工大学信息学院，杭州 310018)

0 引 言

主动电磁轴承又称电磁轴承(Active magnetic bearing, AMB)，是一种利用可控电磁力使轴承悬浮在期望位置的新型高性能轴承。它具有无摩擦、无需润滑等传统轴承不具有的特殊性质，适合于高精度、高速、真空等特殊环境，有广阔的应用前景。

支承特性是电磁轴承重要的性能指标，是评价电磁轴承性能关键参数，决定着系统的旋转精度、动态性能和稳定性能。因此，对电磁轴承支承特性的研究成为电磁轴承研究的重要组成部分。在传统轴承中通常使用刚度和阻尼来描述轴承的支承特性，理论已较为成熟。在电磁轴承研究领域，也借鉴了传统轴承研究刚度阻尼的方法和理论，对电磁轴承支承性能的研究实质上就是研究电磁轴承刚度与阻尼特性。电磁轴承的刚度与阻尼一般称为等效刚度和等效阻尼，其根据需要可在系统稳定范围内通过调节控制参数随时改变。目前，对电磁轴承支承特性的研究主要集中在支承参数的识别方面，而对支承特性调节方面的研究相对较少。Lim等[1]利用施加外部激励来识别PID控制下电磁轴承的等效刚度阻尼系数。Zhou等[2]提出了使用电磁轴承转子不平衡反馈来辨识系统的等效刚度和阻尼，并建立了系统等效有限元模型。Chen等[3]提出了一种利用混合遗传算法去识别系统的等效刚度和等效阻尼的方法，该方法较好地利用遗传算法的全局优化能力，提高了识别准确度。杨作兴等[4]设计了一种动刚度自动识别系统，利用电磁轴承系统自身产生激振力来识别系统刚度，大大简化了识别系统的设计。赵晶晶等[5]设计了电磁轴承系统激振器，并利用电磁轴承传感器作为拾振器，给出刚度阻尼的测量方法。蒋科坚等[6]利用广义刚度，设计了五自由度的刚度阻尼自动识别系统，该方法可有效避免电磁轴承模型不准确给识别带来的干扰。Tiwari等[7]、Andrés[8]、李启行等[9]通过建立有限元模型对电磁轴承柔性转子的刚度和阻尼系数进行准确识别。刘小静等[10]利用加载砝码法和BK振动仪加载正弦信号的实验方法测量了系统的动静刚度。

传统电磁轴承支承特性的调节方法，往往不能很好地权衡电磁轴承系统高性能与稳定性之间关系，等效刚度与等效阻尼的设计也过于理想化。在实际应用时，电磁轴承系统可能会因系统时滞、噪声等因素的干扰，导致所设计的支承性能达不到预期，甚至出现系统失稳的情况。本文提供一种支承特性的优化调节方法。通过对电磁轴承稳定性和稳定裕度的研究，优化支承特性，使电磁轴承系统稳定的同时具有更好的抗干扰性；并且在调节时考虑了系统时滞对支承特性的影响，减小分析误差，增强调节实用性。

1 电磁轴承结构模型与支承特性理论计算

1.1 电磁轴承结构模型

图1是典型的单自由度AMB系统结构图，电磁轴承系统主要由功率放大器、控制器、位移传感器、电磁铁、转子等组成。其控制原理是用位移传感器实时监测轴承转子的位置变化，当位移传感器检测到轴承转子偏离预设中心位置时，把误差信号输入到控制器，控制器则会产生电流修正信号输送到功率放大器，经功放放大后输入到电磁铁，从而产生所需力，使转子悬浮在期望位置。

图1 电磁轴承悬浮结构

AMB控制系统可简化为如图2所示的结构，其中：m为电磁轴承转子质量；Gc(s)为控制器传递函数；Gp(s)是功率放大器传递函数；Ki、Kx分别为电磁轴承位移刚度系数和电流刚度系数；U0是位移基准信号，为常数；F(s)是外界干扰信号；Gs(s)为传感器传递函数。当系统受到外界干扰时，转子位置发生变化，位移信号X(s)经位移传感器输出后与基准信号U0比较得到位移偏差信号，然后输入控制器生成修正电流信号经功率放大器后输入电磁铁来控制转子运动。

图2 AMB系统结构框图

1.2 支承特性理论计算

电磁轴承在电磁力和外界干扰力的共同作用下，转子的运动方程可在转子的中心位置进行线性化得：

(1)

其中：F为电磁轴承转子所受到的外界干扰力；x为转子位移；ic是电磁轴承控制电流。在采用电流控制器时，控制电流与位移之间存在如下关系：

Ic(s)=G(s)X(s)

(2)

其中：G(s)是控制环节传递函数，G(s)=Gs(s)Gc(s)Gp(s)，是位移传感器传递函数Gs(s)、控制器传递函数Gc(s)和功率放大器传递函数Gp(s)的乘积。对式(1)进行Laplace变换，并把式(2)代入式(1)，可得转子在力干扰通道X(s)/F(s)上的闭环频率特性方程：

(3)

从另一个分析角度，单自由度电磁轴承系统可等效为一个质量-弹簧-阻尼系统，其运动方程可表示为：

(4)

其中：k、c分别为此系统的等效刚度和等效阻尼。对式(4)进行Laplace变换得到系统频率特性方程：

(5)

对比式(3)、式(5)整理可得等效刚度和等效阻尼的一般表达式：

(6)

其中：Re[G(jω)]、Im[G(jω)]分别为控制环节传递函数G(jω)的实部和虚部。本文采用PID控制器，kp、ki、kd分别为比例、积分和微分系数，设功放的放大倍数为Kg；位移传感器转换倍率为Kw；电磁轴承系统时滞设为T；可得控制环节传递函数：

(7)

将式(7)代入式(6)可得在PID控制下的等效刚度和等效阻尼表达式：

(8)

由式(8)可得：在电磁轴承结构参数确定后，电磁轴承的等效刚度和等效阻尼可通过PID参数进行调节。等效刚度主要与控制参数kp相关，在低频段，由于时滞的存在kdω2T项很小，所以微分系数对等效刚度的影响不大，但随着频率升高，微分系数对等效刚度的影响将会显现，而积分系数对等效刚度几乎无影响。等效阻尼的调节则主要与kd相关，积分系数仅影响等效阻尼的低频特性，而一般在实际应用中电磁轴承的工作频率较高。因此，对电磁轴承支承特性的调节主要通过调节kp、kd参数来实现。

2 支承特性调节与优化

2.1 系统稳定范围的确定

对电磁轴承等效刚度与等效阻尼的调节，首要目标是使电磁轴承系统转子稳定悬浮，在系统结构确定后，系统稳定与否主要取决于控制参数的选择。比例加微分是电磁轴承稳定悬浮的最基本控制形式，其传递函数可表示为(kp+kds)。可以发现系统支承特性调节与控制器参数的选择具有统一性。鉴于这一性质，本文利用电磁轴承控制参数的优化选取方法，对系统支承特性进行优化调节。

首先，根据Routh稳定性判据[11]可得系统控制参数的稳定范围。已知式(3)为系统在X(s)/F(s)通道上的闭环传递函数，在式(3)中代入PD控制下的控制环节传递函数G(s)，可以得到系统闭环传递函数特征方程：

D(s)=mTs3+ms2+(KgKwKikd-KxT)s+

KgKwKikp-Kx

(9)

由式(9)可知，电磁轴承系统闭环特征方程D(s)是一个三次多项式，设a0=KgKwKikp-Kx，a1=KgKwKikd-KxT，a2=m，a3=mT，由Routh判据的稳定性条件：a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0，可得：

(10)

由式(10)可以得到电磁轴承系统在PD控制下的参数稳定范围，参数范围主要由系统结构参数和系统时滞决定。在电磁轴承支承特性调节时，首先根据支承特性设计要求，确定所需等效刚度和等效阻尼对应的控制参数，然后根据系统稳定性分析，在控制参数稳定范围内对得到的控制参数进行筛选，初步达到系统的稳定性需求。

2.1.1 时滞对系统稳定范围的影响

电磁轴承系统在实际应用中必然存在时滞，通过式(10)也可发现，系统时滞与参数稳定范围有明确的函数关系，在结构参数确定后，系统时滞成为影响控制参数稳定范围的主要因素。为了较为直观地研究时滞对支承特性稳定性调节的影响，本文选取适当时滞对电磁轴承系统稳定域进行量化分析。在式(10)中代入已知实验用电磁轴承结构参数，Kx=0.23 MN/m、Ki=120 N/A、Kg=2 A/V、Kw=9550 V/m，进行仿真得到结果，如图3所示。由图3可以看出，控制参数kp大于一固定值，其值大小是由系统结构参数决定的；kd的选取范围与时滞成反比，即随着时滞增大系统可调参数范围减小。在实际调节时，存在未考虑系统时滞误差，导致所选支承特性调节参数偏离稳定区域，造成系统失稳的情况。因此，在调节支承特性时有必要考虑时滞的影响，以增强调节参数的可用性。

图3 电磁轴承参数稳定域

2.2 系统稳定裕度

除了系统时滞，电磁轴承还会受系统噪声、参数摄动等因素的干扰，导致支承性能的调节达不到预期。因此，对电磁轴承支承特性的调节不仅要求调节后电磁轴承系统是稳定的，还需要电磁轴承系统具有一定的稳定裕度，使系统在一定程度上能够抵抗参数摄动或外界干扰对系统造成的不利影响。下面以PD控制器为例，通过分析电磁轴承系统稳定裕度与支承特性的关系，优化电磁轴承支承特性调节参数。由图2可得在PD控制下的开环传递函数：

(11)

其中：开环传递函数P(s)是控制环节传递函数与转子等效模型传递函数的乘积。根据式(11)可得电磁轴承开环传递函数的幅频特性和相频特性：

(12)

(13)

电磁轴承稳定裕度往往作为系统频域设计的性能指标[12]，它表明一个稳定系统距离稳定边界还有多大的安全余量，可分为幅值裕度和相角裕度，其表达式如下：

(14)

其中：Gm是系统幅值裕度，在Bode图中常用分贝数表示，能够定量的指出系统在变到临界稳定时系统可变的最大增益，ωg为电磁轴承开环传递函数频率特性相角φ(ω)=180°时的相位穿越频率；Pm是系统相角裕度，表示一个系统为保持稳定最多还能附加的相位滞后量，其中ωc为开环传递函数幅值特性|P(jωc)|=1时的频率，又叫剪切频率。

结合式(12)—(14)分析可以发现，在系统结构参数确定后，控制器参数的选择决定了系统稳定裕度的好坏。因此，根据系统稳定裕度要求，可对调节参数进行二次筛选，使所选参数具有良好性能。

2.2.2 时滞对稳定裕度的影响

通过前文分析已知：时滞会导致系统参数稳定范围减小。同时由式(12)—(14)不难发现，系统时滞也会对电磁轴承稳定裕度产生影响。在低频段，因式(12)中T2ω2+1接近于1，所以时滞对幅值裕度影响不明显，其主要影响系统相角裕度，但随着频率升高，时滞对稳定裕度的影响将会加强。可利用Bode图分析时滞对系统稳定裕度的影响，在式(11)中代入已知系统结构参数和在参数稳定域范围内选取的控制参数kp=0.7、kd=6×10-4，得到结果如图4和图5所示。由图4可看出在T=0.1 ms时系统幅值裕度的绝对值为16.9 dB，相角裕度为20.8 deg，电磁轴承系统已有较好的稳定裕度，但随着时滞增大，由图5可以发现系统相角裕度从20.8 deg下降到14.9 deg，相角裕度下降明显，系统可滞后相角减小，导致电磁轴承系统在临界转速时不能提供足够阻尼。

图4 T=0.1 ms系统Bode图

图5 T=0.3 ms系统Bode图

3 实验及分析

3.1 实验平台

单自由度磁悬浮轴承实验平台如图6所示，其采用的是单端悬浮铰支梁结构，一端固定，另一端通过上下电磁线圈进行主动控制。系统主要由dspace控制器、霍尔位移传感器、功率放大器等组成。实验所用参数如表1所示。

图6 单自由度实验平台

参数名称(变量)数值单位悬浮梁质量(m)5.8kg气隙长度(x0)0.88mm磁路横截面积(A)6.45×10-4m2线圈匝数(N)200匝位移刚度系数(Kx)0.23MN/m电流刚度系数(Ki)120N/A功放放大倍数(Kg)2A/V位移传感器放大系数(Kw)9550V/m

3.2 调节参数的选取

根据前文分析，已知电磁轴承控制参数的稳定范围。首先，根据应用需求在系统参数稳定范围内选择调节参数，然后根据系统稳定裕度要求对调节参数进行二次筛选。为了研究系统控制参数与系统稳定裕度的关系，选取系统时滞T=0.3 ms，在式(11)中代入系统稳定范围内控制参数和上表结构参数，利用Bode图进行仿真实验，得到结果如图7和图8所示。由图7看出：kd不变，kp从0.3变到0.7的过程中，幅值裕度上升，相角裕度下降，所以在调节kp时，必须注意系统相角裕度变化，应在满足系统稳定裕度的前提下，尽量选择大的kp值，以增强系统等效刚度和提升系统响应速度。由图8可以发现：kp不变时，随着kd增大，系统剪切频右移，系统相角裕度上升，但系统幅值裕度变化不明显，因此，可适当增大kd值，以改善系统的动态性能。通过此方法可确定PD参数的选取，积分系数I的选取方法在较多论文里都有较为详细的讲述[13-14]，在这里不再赘述。

图7 kp对稳定裕度的影响

图8 kd对稳定裕度的影响

3.3 时滞测量

系统时滞是支承特性调节的一个重要影响因素，电磁轴承各个环节都存在时滞，但功放时滞是系统时滞的主要来源，因此，实验主要是针对功放时滞的测量。选取两电平开关功率放大器作为测量对象，功率放大器传递函数可设为一阶环节，其时滞设为Tg；选取功放电源电压60 V作为实验电压。实验时在功放输入端输入矩形脉冲，在功放板的电流反馈端连接示波器查看功率放大器的反馈电压，结果如图9(a)所示。放大在一秒处的反馈电压得到图9(b)，可见系统输入脉冲信号经历一个波峰后达到平衡位置，根据系统第一次到达平衡位置的时间计算得到功放的响应滞后时间。经计算功放时滞Tg=0.25 ms，由此可以看出功放时滞不容小觑，提高功放响应速度，减小时滞，也成为功放设计的重要目标。

图9 电压反馈信号

3.4 实验验证

电磁轴承的悬浮性能可通过转子振动幅值及系统功率谱进行量化评价。

为了检验前文所述方法的有效性及查看时滞对支承特性调节的影响，设计了如下对比实验：采用PID控制器，根据上述方法选取kp=0.7、ki=2×10-5、kd=6×10-4，并需要在系统控制环节中添加时滞模块，时滞可根据需要进行设置，还需要加入外界激振，通过施加外界激振查看所调节系统的稳定性和抗干扰能力。本文选取频率为100 Hz正弦激励信号作为激振信号。

首先在不加时滞模块的系统中使用所选参数，进行起浮实验，待系统稳定后施加激振，记录转子位移变化；然后接入时滞模块，施加相同激振，同样记录转子位置变化，实验结果如图10所示。可以发现系统稳定悬浮，不加时滞模块时，加入正弦激励信号，转子发生振动，振动位移约为0.1 mm，电磁轴承已有较好的性能，能够抵抗外界干扰对系统影响；加时滞模块后，加入相同激振，转子振动幅值增大到0.2 mm左右，转子振动明显增加，系统性能下降明显。

图10 转子位移图

图11是电磁轴承功率谱图，同样可以发现加时滞模块前，根据前文所述方法调节的支承特性能使系统保持良好的稳定性，转子振动幅值较小，外界干扰对系统功率谱幅值的影响基本保持为系统噪声水平，这说明了调节方法的有效性。加时滞模块后，电磁轴承功率谱幅值由-40 dB左右上升到-30 dB，系统的振动加大，稳定裕度下降，可见时滞对系统支承性能的调节有明显的阻碍作用。

图11 电磁轴承功率谱

4 结 论

本文以电磁轴承支承特性基本原理为基础，通过电磁轴承系统稳定性和稳定裕度的需求分析，研究了系统支承特性的优化调节方法。结果表明：通过此方法调节系统支承特性，不仅能使电磁轴承系统获得较好的性能，而且能够减小分析误差，增强调节实用性。该研究为支承特性的调节提供了一种新的思路，同时也获得了一种电磁轴承稳定悬浮的参数选取方法。