有限全变换半群变种具有某种性质的极大子半群

金久林, 游泰杰, 徐 波

(贵州师范大学 数学科学学院, 贵阳 550001)

0 引 言

SX和TX分别为非空集合X上的对称群和全变换半群[1]. 目前, 关于变换半群具有某种性质的极大子半群的结构与分类的研究已取得了很多结果[2-20]. Dénes[2]列举了一类有限全变换半群TX的极大子半群, 即S=(TXSX)∪AX, 其中AX是X={1,2,…,n}上的交错群; Baǐramov[3]得到了S是有限全变换半群TX的极大子半群当且仅当

S={α∈TX: |Im(α)|≤n-2}∪SX, 或S={α∈TX: |Im(α)|≤n-1}∪G,

其中G是SX的极大子群; Liebeck等[4]利用有限单群的结论及O’Nan-Scott定理完成了有限对称群SX的极大子群的分类. 结合文献[3-4]的结果, 可得有限全变换半群TX的极大子半群的完全分类. Schein[5]提出了如何刻画全变换半群的极大逆子半群的结构和分类的问题, Nichols[6]和Reilly[7]分别给出了其一小部分刻画； Todorov等[8]对有限全变换半群理想的极大子半群进行了刻画, 但并未完全解决; 游泰杰[9]得到了有限全变换半群理想的极大正则半群的结构与完全分类; 杨浩波等[10]得到了有限全变换半群理想的极大子半群的结构与分类, 完成了文献[8]未解决的问题.

1 预备知识

P={f∈TX: |Im(afa)|=|Im(f)|},

(1)

且对任意的m∈{1,2,…,r}, 有

(2)

(3)

|Im(f)|=|Im(afa)|≤|Im(a)|=r,

引理2P有一条理想链:

引理4设

则|Im(a)∩Bi|=1(i=1,2,…,r). 特别地, 若f是一个幂等元且ai∈Bi, 则bi∈Ai(i=1,2,…,r).

(4)

其中ai∈Bi,bi∈Ai(i=1,2,… ,r). 记

(5)

本文未定义的术语及符号参见文献[1,24].

设S是一个半群, 若α∈S满足对任意的β,γ∈S, 有α≠βγ, 则称α是一个不可约元. 由S中不可约元构成的集合, 称为S的不可约集.

证明: 设α,β∈N, 则存在(i,j),(s,t)∈I×J, 使得α∈Mij,β∈Mst. 根据式(5), 不妨设

其中:bi,ci∈Ai,ai∈Bi∩Ci(i=1,2,… ,r);σ,ρ∈U. 易证

其中:di∈Ai,ai∈Di(i=1,2,…,r);ρ∈U. 取

类似引理10的证明, 可得:

Ø},

证明： 反证法. 假设存在(i,j),(m,n)∈Φ且(i,j)≠(m,n), 使得Vij≠Vmn. 则有σ∈VijVmn(σ∈VmnVij证明方法类似). 易知Tmn含有幂等元. 根据式(4),(5), 不妨设

是Tmn的一个幂等元, 取

其中bi,ci∈Ai,ai∈Bi∩Ci(i=1,2,…,r). 易证

Ø},

Vij=Vmn⊂Umn=Uij.

从而Sij⊂Mij. 因此

与S的极大性矛盾.

②Mmn⊂Smn. 类似①可得

与N的极大性矛盾.

引理15设2

证明: 由引理13和引理14可知, Ar,Br,Cr,Dr均为P的极大正则子半群. 下证P的极大正则子半群仅有定理中的形式. 设S是P的极大正则子半群. 下面分两种情形讨论:

S⊆Ar,S⊆Br,S⊆Cr.

注意到Ar,Br,Cr均为P的极大正则子半群, 由S的极大性可知,S是Ar,Br,Cr的形式之一.

反之, 设S是P的极大正则子半群. 分两种情形讨论:

综合引理15、 注1和注2, 可得：

定理3N,Γ,Δ定义如前, 则：

1) 当r=1时,S是P的极大正则子半群当且仅当存在β∈P, 使得S=P{β}.

3) 当2