融合倾斜仪数据的盾构姿态严密解算模型

潘国荣， 范 伟

(同济大学 测绘与地理信息学院， 上海 200092)

盾构姿态的自动测量方法主要有激光标靶法、陀螺仪系统导向法、三棱镜法、棱镜和倾斜仪法.激光标靶法[1-3]主要根据CCD(charge coupled device)相机的相对位置确定盾构机的实时位置，但由于该系统相对比较复杂且CCD相机的大小有限，在实际应用中仍存在很多限制.陀螺仪系统导向法[4-6]长时间测量存在累积测量误差，在施工中主要作为辅助参考测量.三棱镜法[7-10]通过测量与盾构焊接在一起的3个棱镜的坐标计算出盾首、尾在工程坐标系下的坐标，但由于隧道内空间狭窄且观测条件恶劣，会出现棱镜测量错位或3个棱镜无法全部观测的情况，为了克服三棱镜法的缺陷，在三棱镜模型的基础上引入了倾斜仪，即棱镜和倾斜仪法[11].

棱镜和倾斜仪法的系统构建简单便捷，近年来得到了广泛的研究，但仍存在3个方面的不足：第一，忽略了倾斜仪的标定误差，将倾斜仪所测的俯仰角和滚动角直接作为盾构的俯仰角和滚动角[12]，或认为初始状态下倾斜仪的俯仰轴和滚动轴与盾构的俯仰轴和滚动轴是平行的[13]，并通过理想化的几何关系模型推求倾斜仪双轴和盾构双轴的关系，当标定误差较大时，将严重影响盾构姿态测量的精度.第二，未对倾斜仪的采样数据进行有效的预处理，无法保证倾斜仪采样数据的精度和可靠性.第三，定权不合理，已有的棱镜和倾斜仪数据的联合平差模型将倾斜仪双轴观测数据视为等权独立观测值[14]，与实际的观测模型不符.

为了解决上述问题，提出并论证一种严密的棱镜和倾斜仪模型.推导倾斜仪与盾构的严密标定模型；将单次观测周期中倾斜仪采集的多对双轴角度数据视为平面点云，利用选权迭代法[15]对其进行稳健估计，以获取单次观测周期中倾斜仪数据的最佳估值及其协方差阵.在前述模型方法的基础上，利用最小二乘配置方法[16]推导三棱镜与倾斜仪数据融合的严密解算模型.最后，通过试验，对上述模型方法进行分析验证.

1 倾斜仪的严密标定模型

1.1 盾构标定坐标系的定义

如图1所示，盾构标定坐标系为OXYZ，以盾尾为该坐标系O点，盾尾到盾首的方向作为X轴，Y轴位于水平面并垂直于X轴，Z轴垂直于XOY平面，形成左手坐标系.将盾构标定坐标系OXYZ绕其Y轴顺时针旋转β角，形成新的坐标系OvXvYvZv.可知2个坐标系之间存在如下转换关系：

(1)

图1 盾构标定坐标系(标定状态)

1.2 倾斜仪坐标系的定义

如图2所示，倾斜仪坐标系为OcXcYcZc，以倾斜仪俯仰轴方向为Xc轴，倾斜仪滚动轴方向为Yc轴，以Xc轴和Yc轴的交点作为倾斜仪坐标系的原点Oc，按左手坐标系规则确定Zc轴，其中ωp、ωs为初始状态下倾斜仪所测俯仰角和滚动角.将倾斜仪坐标系OcXcYcZc绕Xc轴旋转αt角，再绕Yc轴旋转βt角，形成新的坐标系OcvXcvYcvZcv，可知2个坐标系之间存在如下转换关系：

(2)

图2 倾斜仪坐标系

1.3 倾斜仪坐标系与盾构标定坐标系的关系

倾斜仪标定模型使用向量作为坐标转换的对象，因此，坐标系OvXvYvZv与坐标系OcvXcvYcvZcv的转换关系在此仅考虑旋转关系，如图3所示，2个坐标系的转换关系如下：

(3)

图3 盾构标定坐标系与倾斜仪坐标系的关系

将式(1)和式(2)代入式(3)，可知倾斜仪坐标系OcXcYcZc与盾构标定坐标系OXYZ存在如下关系：

(4)

1.4 倾斜仪的严密标定模型

根据式(2)、式(3)和式(4)，可得盾构标定坐标系OXYZ与自定义坐标系OvXvYvZv关系为

(5)

(6)

根据式(6)并结合图4所示几何关系，可得

(7)

图4 盾构标定坐标系(施工状态)

2 倾斜仪数据的稳健估计方法

在棱镜和倾斜仪法中，若以全站仪完整获取所有棱镜坐标的时间作为一个观测周期，那么在一个观测周期中倾斜仪可获取几十至上百对双轴角度数据.因此，联合平差前必须对倾斜仪获取的双轴角度数据进行有效预处理.由于一个观测周期中倾斜仪采集的双轴角度数据整体服从正态分布，但个别数据中含有粗差，所以在此基础上推导倾斜仪双轴角度数据的稳健估计方法.

2.1 建立倾斜仪数据的处理模型

将一个观测周期中倾斜仪采集的双轴角度数据视为平面点云，则倾斜仪数据的拟合即转化为平面点云的拟合[17-18].根据加权最小二乘准则，得

(8)

(9)

2.2 等效观测值权函数的选择

在一个观测周期中，倾斜仪的个别采样数据含有粗差，若认为等效观测值di为等权观测值，则平差结果无法反映观测数据的真实分布情况，又无法抵抗粗差的影响.因此，使用等价权函数pi(vi)来确定等效观测值di的权.将文献[19]建议的等价权函数进行简化并选取合适的迭代常数[20]，得

(10)

2.3 倾斜仪数据处理的选权迭代方法

在2.1节和2.2节的理论基础上，通过选权迭代法处理倾斜仪的点云数据，迭代过程参见文献

[15]，迭代结束后，将di视为等效观测值，ωp、ωs视为待求参数，可根据间接平差原理列出误差方程，并利用协方差传播律求参数ωp、ωs的协方差阵，得

(11)

3 三棱镜数据与倾斜仪数据融合的严密解算模型

(12)

将式(5)代入式(12)可得，坐标系OpXpYpZp与坐标系OXYZ关系为

(13)

式中：Rc=Rx(-αt)Ry(βt)Rz(-θ)Ry(-β)，Rc初始标定时已知.

式(13)中，即含有非随机参数(3个平移参数和1个旋转参数)，又含有随机参数(βts、αts)，所以，利用最小二乘配置法对式(13)进行平差处理.为了计算方便，用sinαts代替αts进行平差解算，由式(5)并根据协方差传播律，可得βts、sinαts的协方差阵为

(14)

将βts、sinαts的先验期望看作与棱镜坐标观测值相互独立且方差阵为D1的虚拟观测值，得

(15)

对式(15)进行线性化，可得误差方程为

港口投资会增加港口的固定资产，如：码头岸线、岸吊、堆场、场吊、集卡和电子信息设备等。为增加运营设施/设备，需配备相应的工作人员。为服务这些新增的雇员还需增加服务业，这种溢出效果增加了临港区域的就业与居住，提升港口城市的劳动力需求与工资水平。劳瑞模型可以刻画这种溢出效应[10]，具体步骤为

V1=A11X1-L1

(16)

对式(13)进行线性化，可得每个棱镜对应的3个坐标观测值的误差方程为

V2=A21X1+A22X2-L2

(17)

为叙述方便，所有棱镜坐标观测值的误差方程仍用式(17)表示，在计算中只需对式(17)中的相应矩阵做扩充即可.根据自动全站仪标称的测距和测角精度可计算三棱镜对应的坐标观测值的方差阵D2，并结合式(14)将式(16)和(17)联立，根据广义测量平差原理[21]，可得待求参数的最佳估值为

(18)

待求参数的协方差阵为

(19)

4 案例分析

4.1 倾斜仪标定误差对盾构俯仰角和滚动角计算的影响

在初始状态下，倾斜仪俯仰轴和滚动轴与盾构的俯仰轴和滚动轴，由于安装误差的限制，不可能保证严格平行.若忽略安装误差，认为倾斜仪双轴与对应盾构双轴是平行的，那么根据倾斜仪的俯仰角和滚动角计算出的盾构的俯仰角和滚动角必然与本文所述的正确模型计算出的结果存在偏差，如下式：

(20)

式中：βs、αs表示使用本文所述的正确模型计算出的盾构的俯仰角和滚动角；βw、αw表示忽略安装误差所计算出的盾构的俯仰角和滚动角.

若初始状态不存在安装误差，即倾斜仪双轴与对应的盾构双轴平行，则相应的角度应满足下式：

(21)

式中：δ的单位为角度；为了方便计算且不失一般性，令β为1°.

图5倾斜仪标定误差对盾构俯仰角和滚动角计算的影响

Fig.5Influenceofthecalibrationerroroftheinclinometeronthecalculationofshield’spitchingangleandrollingangle

对图5分析可知，若使用忽略倾斜仪安装误差的模型计算，倾斜仪的安装误差越大，盾构俯仰角与滚动角计算的偏差越大，且盾构俯仰角与滚动角计算的偏差与倾斜仪的安装误差处于一个量级；当倾斜仪随盾构一起发生扭转时，倾斜仪的安装误差越大，盾构俯仰角与滚动角计算的偏差的波动越大.

4.2 倾斜仪数据稳健估计方法的验证

以期望为0°、标准差为0.005°分别生成2组各100个服从正态分布的随机数，并将其分别加入倾斜仪所测俯仰角和滚动角的真值上，形成100对含有随机误差的倾斜仪观测数据，并在第26对、49对、73对观测数据的俯仰角和滚动角中均加入粗差，在第17对观测数据的俯仰角、第88对观测数据的滚动角中加入粗差，粗差的大小为3倍标准差，最终形成一组倾斜仪模拟观测数据，如图6所示.

图6 倾斜仪的模拟观测数据

利用本文所述的稳健估计方法，对上述数据进行处理，所得结果见表1.

表1 倾斜仪模拟观测值的平差结果

根据表1，本文模拟的数据的平差结果与其真值的差值远远小于模拟观测值的标准差0.005°，由此可认为平差结果不受粗差的影响而只受偶然误差的影响，从而证明了本文提出的针对倾斜仪观测数据的稳健估计方法是有效可行的.

4.3 棱镜数据与倾斜仪数据联合平差模型的验证

试验数据由实测数据和模拟数据共同组成.表2所示为某工程的实测数据.

设计了2组倾斜仪标定数据和观测数据.在标定状态下，倾斜仪的俯仰角为ωp，滚动角为ωs，倾斜仪俯仰轴与盾构俯仰轴在水平面的夹角为θ；在施工状态下，相应倾斜仪观测的俯仰角为ωps，滚动角为ωss，如表3所示.

表2 棱镜和盾首、尾的初始测量数据

使用2种联合平差模型对上述数据进行处理.第1种模型认为，在初始状态下，倾斜仪的双轴与对应盾构的双轴是平行的，即倾斜仪存在标定误差，但模型中予以忽略.第2种模型为本文提出严密联合解算模型，即认为，在初始状态下，倾斜仪的双轴与对应盾构的双轴不平行.

表3 倾斜仪标定状态及其对应施工状态下的观测数据

使用第1种联合平差模型，根据表3中2组倾斜仪的模拟数据，并分别结合2个棱镜和3个棱镜的观测数据，解算的盾首、尾坐标与其真值的差值，如表4所示.表中，P1、P2、P3表示棱镜.

表4 第1种平差模型的解算效果

使用第2种平差模型，根据表3中2组倾斜仪的模拟数据，并分别结合2个棱镜和3个棱镜的观测数据，解算的盾首、尾坐标与其真值的差值，如表5所示.

表5 第2种平差模型的解算效果

对表4和表5进行分析可知，① 若以50 mm作为隧道贯通的测量限差，使用第1种联合平差模型，当倾斜仪的标定误差在0.1°时，盾首、尾坐标的联合平差结果的偏差属于毫米级，仍能满足隧道贯通精度的要求.但随着标定误差的增大，当倾斜仪的标定误差达到0.6°时，盾首、尾坐标的平差结果的偏差已超出隧道贯通限差的要求.② 使用第1种联合平差模型，棱镜个数的增加并不能提高联合平差结果的精度，即三棱镜数据和倾斜仪数据的联合平差结果与两棱镜数据和倾斜仪数据的联合平差结果在精度意义上是一致的.③ 使用第2种平差模型对棱镜和倾斜仪数据进行处理，计算结果的偏差均在亚毫米级，甚至优于亚毫米级，证明了本文所建立模型的正确性和稳定性.

5 结论

通过研究初始状态下倾斜仪和盾构的空间位置关系，建立了倾斜仪与盾构的严密标定模型.将倾斜仪的双轴角度观测数据视为平面点云，对倾斜仪数据进行稳健估计.在倾斜仪与盾构的严密标定模型基础上，建立了盾构标定坐标系与工程坐标系的转换关系，并利用最小二乘配置方法将倾斜仪相关数据视为具有先验统计信息的虚拟观测值，在广义最小二乘原理下，建立了倾斜仪数据与棱镜数据的联合解算模型.最后，通过试验分析了倾斜仪标定误差对盾构俯仰角和滚动角计算的影响；分析了倾斜仪数据稳健估计的效果；分析了本文建立的联合平差模型的解算精度，并与不考虑倾斜仪标定误差的联合平差模型进行了对比，验证了本文联合平差模型的正确性和可行性.提出的倾斜仪数据与棱镜数据的联合平差模型建立在倾斜仪与盾构严密标定模型的基础上，该标定模型也可灵活应用于其他使用倾斜仪进行姿态测量的工程中.