例谈解析几何中的垂直模型

章浩伟

近几年全国卷在解析几何内容的考查上难度适中，着重于运用代数方法解決几何问题，运用几何性质建立代数关系，凸显数形结合的魅力。对大多数学生而言，他们有信心做解析几何试题，却常常陷于不知从何入手，或者大量运算无功而返的困境。笔者认为，根据已知条件的特点，建立解题思路模型，能有效帮助学生走出这一困境。以下，将结合一个具体问题，谈谈解析几何中的垂直模型。

一、问题提出

题目：如图1，已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=1和两点A（-m，0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，求m的最大值。

二、解法探究

解法一：

要满足∠APB=90°，只需点P的坐标满足：AP→·BP→=0，

利用圆的参数方程，可设点P（3+cosθ，4+sinθ），

由AP→·BP→=0，得： （3+cosθ）2-m2+（4+sinθ）2=0，

化简整理为： m2=26+8sinθ+6cosθ=26+10sin（θ+φ），其中sinφ=35，cosφ=45，

依题意，圆C上存在点P，使得∠APB=90°，等价于上述方程有解，

因此，当sin（θ+φ）=1时，m的最大值为6；

点评：解法一运用向量研究垂直关系，这是解析几何问题的常见思路，好处在于通过向量可以把点的坐标引入到研究问题中，而涉及到点的坐标，学生们就有了很多解决问题的代数方法。在求解过程中，通过向量的数量积等于1建立了m与点p坐标的关系，从而将点的存在性问题转化为方程有解的问题，实现了几何问题代数化，完成了求解。

解法二：

由示意图可知，直线AP的斜率存在，则直线BP的斜率也存在，

要满足∠APB=90°，只需直线AP，BP的斜率满足：kAP·kBP=-1，

代入点的坐标到斜率关系中，可得：（4+sinθ）2（3+cosθ）2-m2=-1，

余下求解过程同解法一；

点评：解法二运用斜率研究垂直关系，解题思路与解题过程与解法一一致。相比于向量，斜率具有更强的几何直观性，但解题时需要对斜率是否存在做单独考虑，通常不作为首选的解题策略。

解法三：

因为∠APB=90°，可用勾股定理研究，只需点P满足：|AP|2+|BP|2=|AB|2，

利用两点距离公式表示出距离，也可以得到：m2=26+8sinθ+6cosθ，

余下求解过程同解法一；

点评：解法三通过勾股定理建立方程，其本质仍然是引入坐标研究问题，在本题中该方法的运算量较大，但也是一种解决垂直问题的方法，尤其是已知条件涉及了长度大小的时候。

解法四：

如图2所示，因为∠APB=90°，从几何性质出发，可知点P在以AB为直径的圆上（除A、B点外），

因此，只需要满足以AB为直径的圆（记作圆M）与圆C有公共点即可，而此时，m的值即为圆M的半径；由图2可知，当圆C内切于圆M时，m取到最大值，满足： m=|OC|+RC=5+1=6；

点评：解法四赋予了垂直关系几何意义，即“若PA⊥PB，则P在以AB为直径的圆上”，从而将问题转化为圆C与以AB为直径的圆是否有公共点，而此时m的取值，就是以AB为直径的圆的半径，从而将整个问题几何化。再分析图形特征可知，两圆内切时，m取到最大值。

解法五：

如图3，因为∠APB=90°，连接OP，

由直角三角形性质可得：|OP|=12|AB|=m，

因此，求m的最大值，等价于求圆C上的点P到原点的最大距离，

可知： mmax=|OP|max=|OC|+RC=5+1=6；

点评：解法五利用了直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”的性质，当PA⊥PB时，点P到原点的距离即为m的取值，从而将求m的最大值转化为求圆上的点P到原点的距离的最大值，可知最大值为圆心到原点的距离加上半径，完成求解。解法四和解法五都是将代数条件几何化，以形解数，颇为巧妙。

三、教学启示

一题多解是数学题的特色，也凸显了数学学科的独有魅力。然而，学生在解题时，往往局限于一种自己习惯的解法，甚至有时候都不清楚为什么这个题目就要用这样的方法来做。当学生习惯的解题方法行不通时，他们便一筹莫展。这一现象在解析几何试题的解题过程中尤为明显，学生头脑中装着一些方法和结论，如果是熟悉的题目，可以拿来就用，一旦题目比较陌生，就不知道用什么和怎么用了。这时候，归纳解题模型，将解题方法和常用结论建立关联，能有效帮助学生解决上述困扰。

本文所述的例子，围绕着 的取值如何能保证圆C上存在点P满足“PA⊥PB”展开探究，把垂直问题与向量关系，斜率关系，长度的勾股定理关系，三个代数关系，以及满足垂直关系的点的轨迹为圆，直角三角形下斜边的中线等于斜边的一半两个几何结论建立联系，构建了一个解析几何问题中的“垂直模型”，只要题目所给条件满足其一，其余均可作为解题思路来分析问题。由此，当学生在解题过程中遇见了垂直关系时，就可以从这五个方向入手考虑问题，选择自己认为的最便捷的方法。在教学实践中，我发现学生在掌握了垂直模型后，类似涉及垂直关系的题目，他们做起来很有自信，准确率也高，有些题目还能结合已知条件的特点，在五种入手方法上有所创新。

解无定法，贵在得法。通过探索大量解题方法背后的关联，构建具体问题背景下的解题模型，能够帮助学生打开解题思路，走出解题困境，锻炼他们灵活运用各种解题方法解决问题的能力。

【参考文献】

[1]孙世林.一道高考题的解法探究、变式及反思[J].中学数学教学参考：上旬，2017（3）：48-50.

[2]白春元.对一道解析几何题解法的反思[J].中学数学教学参考：上旬，2017（1-2）：35-37.

（作者单位：厦门双十中学漳州分校）