异面直线计数问题例说

薛振鸿

摘 要：根据异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线（skew lines）。它的特点是既不平行，也不相交。其常用判定方法有：①定义法：由定义判定两条直线永远不可能在同一平面内。②判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。

关键词：异面直线；异面直线对；列举法；计数原理；分类讨论

一、列举法

当空间直线数比较少，构成的异面直线对数也较少，这时我们根据异面直线的定义或异面直线判定定理，一一列计数。

例1：求证：任何一个空间四面体的六条棱所在直线中有且只有3对异面直线。

证明：如图1：设空间四面体为P-ABC，先考虑与直线PA共面的直线，因为直线PA与直线PB、PC、AB、AC相互之间都有交点，而两条相交直线确定一个平面，所以它们是共面的。直线PA与直线BC没有交点（若直线PA与直线BC有交点，直线PA与直线BC共面，这与空间四面体P-ABC矛盾），显然点P 平面ABC，点A∈平面ABC，直线BC 平面ABC，点A 直线BC，根据异面直线的判定定理，直线PA与直线BC是异面的。

二、计数原理

由于直线对数相对较多，不便于一一列举计数，我们可以用排列组合中计数原理，从而减少列举的过程。

例2：已知直线a，b为异面直线，直线a上有4个不同的点，直线b上有5个不同的点，求这9个点所连成的线段所在的直线中构成异面直线的对数？

解：设直线a上的4点，不妨设为A、B、C、D，直线b上的5点，不妨设为E、F、G、H、I，在直线a上的4点中任取2点有C42=6共6种选择，假设选择A、B；在直线b上的5点中任取2点有C52=10种选择假设选择E、F；这时空间4个点A、B、E、F，形成空间四面体A-BEF， 由例1知AE、BF为一对异面直线；AF、BE为一对异面直线；AB、EF即为直线a、直线b单独考虑；所以不考虑直线a、直线b，一共有2×C42×C52=120（对）异面直线，直线a，b也是一对，一共有120+1=121（对）异面直线。

三、分类讨论

当直线数比较多，直线对也相对较多，同时直线位置存在明显个性特征时，我们将这类问题依据个性特征分成几类解决。

例3：正方体共有8个顶点，以这8个顶点为线段的端点，求这些线段所在的直线构成异面直线的对数？

1.叙述性分类

解：如图2，第一类：考虑体对角线所在直线。

分析：正方体共有4条体对角线分别为直线AC1、A1C、BD1、B1D，因为任意两条体对角线是相交；所以它们两两是共面的。只要考虑体对角线与面对角线，体对角线与棱。

假设选择直线AC1，①直线AC1与面对角线所在的直线BD、B1D1、B1C、A1D、A1B、D1C是异面的有6对。体对角线有4条，所以这样的异面直线有4×6=24（对）。②直线A1C与棱所在的直线BC、A1D1、CD、A1B1、BB1、DD1是异面有6对，同样体对角线有4条，所以这样的异面直线有4×6=24（对）。所以与体对角线异面的共有24+24=48（对）。

2.列表分类

根据相关的条件，用表格的形式列出，一目了然。

参考文献：

[1]代修勇.新课标全国卷（理科）高考数学试题的研究[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2016.

[2]欒丽娜.高中数学立体几何高考试题分析与教学策略研究[D].开封：河南大学，2015.