用形式数理的手法 剖析“式数型”易错试题的错误根源

摘 要： 本文中，“式”指数学概念的符号表达式；“数”指数值或数的范围。在高中数学教学中，时常会遇到一些因“式的结构”和“数的范围”不同而导致答案相近但绝不相同的试题。由于这些试题主要涉及式数的转化，姑且命之名为“式数型”试题。

关键词： “式数型”；易错试题；形式数理

在“式数型”试题中，由于式的抽象性和数的广泛性，造成此类试题的错因往往十分隐匿，极难察觉。实际教学中发现，学生们遇到这些试题时，不但容易做错，而且很难从思维根本上纠正过来，因而导致一错再错者，屡见不鲜。

为了解决这个问题，我尝试从“式”与“形”“数”与“理”的关系着手，剖析此类题型的形理根源，以图彻底纠正思维根本上的错误。

在数学中，“形”为“式”的外显，“式”为“形”的抽象，形式互相表里；“理”为“数”的次序，“数”为“理”的度量，数理相辅而成。对于一个具体的“式数型”试题而言，从“形式”“数理”角度剖析，往往更容易抓到问题的本质，甚有“射人先射马，擒贼先擒王”之意味。

下面，略举平时教学中常见的两个“式数型”易错试题为例，试用形式数理的手法剖析其导致易错的根本原因。

【例1】 已知函数f（x）=x2+（m-2）x+5-m的两个根均大于2，求m的取值范围。

问题剖析： 本题属于一元二次方程中根与系数的问题，解决方法大致分两种：一种方法是从“形”的角度入手，利用一元二次函数的图像，通过数形结合，观察出与问题等价的关于m的不等式组，进而求解；另一种方法是从“式”的角度出发，利用韦达定理和基本不等式的性质处理。

错解： 法一：从式的角度常见的错解

解：∵x1>2，x2>2，故 x1+x2>4x1x2>4 ②Δ≥0 ，即 2-m>45-m>4（m-2）2-4（5-m）≥0 ， 解得m∈（-∞，-4]。

事实上，从式的角度的正确解法为：

解：∵x1>2，x2>2，∴x1-2>0，x2-2>0，

故 x1-2+x2-2>0（x1-2）·（x2-2）>0 ①Δ≥0 ，即 2-m>45-m-2×（2-m）+4>0（m-2）2-4（5-m）≥0 ， 即 m<-2m>-5m≤-4或m≥4 ，

解得m∈（-5，-4]。

法二：从形的角度再看此题。

解：设f（x）=0的两个根为x1，x2（x1

f（2）>0 2-m 2 >2Δ≥0 ，即 4+2·（m-2）+5-m>0m<-2（m-2）2-4·（5-m）≥0 ，即 m>-5m<-2m≤-4或m≥4 ， 解得m∈（-5，-4]。

综上可以看到，错解中m∈（-∞，-4]，而正确答案当是m∈（-5，-4]，错解的范围扩大了，这是啥原因造成的呢？

错因究底： 比较从式的角度求解的两种解法可以发现，两者的区别仅仅在于①式（x1-2）·（x2-2）>0与②式x1x2>4在式结构上的不同。

可以看到，①式（x1-2）·（x2-2）>0展开即是x1x2-4+[8-2（x1+x2）]>0，而②式x1x2>4即x1x2-4>0。前者比后者多了一个式结构8-2（x1+x2），正因为这个不同，导致了两种解答结果的差异。

然而，式是抽象的，不如形有直观。从式的结构比较，固然简单直接，但正因为其抽象性，导致许多学生无法彻底理解，下次做类似题还会犯同样的错误。由于“形”为“式”的外显，下面再从“形”的角度着手，利用平面区域的图像，展示两者之间的本质差异。

在①式（x1-2）·（x2-2）>0与②式x1x2>4中，令x1=x，x2=y，则①式变为（x-2）·（y-2）>0，即y> 2x-4 x-2 （x>2）；②式变为xy>4，即y> 4 x 。

把它们图形画在同一个坐标系中，则①式表示的平面区域为直角∠DAC的右展区域；②式表示射线AD与曲线AB组合的右展区域。如下图：

在平面区域上，可以看到，②式比①式多了区域BAC往右边的平面区域，这就是导致第②式中m范围扩大的根本原因！

【例2】 设集合 x x+1 x+a <2 的解集为P，若1P，则实数a的取值范围为 。

A. [-1，1] B. [-1，0]

C. [-1，0） D. （-1，0]

問题剖析： 此题以集合为载体，考查含参数分式不等式的解法和集合的基本性质。

错解： 解法一：由 x+1 x+a <2，即 -x+1-2a x+a <0，故（x+2a-1）（x+a）>0。

∵（x+2a-1）（x+a）=0的根为x1=1-2a，x2=-a。

（1）当1-2a=-a时，即a=1时，不等式解集为{x|x≠-1}，此时1∈P，舍去；

（2）当a<1时，不等式解集为{x|x<-a或x>1-2a}，要1P，则 -a≤11≤1-2aa<1 ，解得-1≤a≤0；

（3）当a>1时，不等式解集为{x|x<1-2a或x>-a}，要1P，则 1-2a≤11≤-aa>1 ，解得a∈。

综上得，不等式解集为a∈[-1，0]，从而选B。

这种解法从正面出发，利用分类讨论的思想方法处理，逻辑严整，条理清晰，然而难免小题大做，耗时耗力，得不偿失。

于是，有学生提出新的解法，如下：

解法二：∵1P，故1是 x+1 x+a ≥2中解集，则 1 1+a ≥1，即-1

解法二利用的是补集思想，从反面着手，简明扼要。但是这两种的解法答案竟然不一样！那个解法是正确的？

有学生补充说，两种解法的差距就在于a能否取到-1。

他说：“我们可以直接取a=-1验证，则原不等式为 x+1 x-1 <2，即 x-3 x-1 >0，解得{x|x<1或x>3}，满足1P，故还是应当选择B。”

但是，解法二本身已经是一个完整的解法，不需要另外取a=-1来补充。

这下问题就出来了！

那就是a=-1到底能不能取得到？

其实，解法一是正确的，答案选B，即a是可以取得到-1的，理由如下：

错因究底： 我们假设P= x x+1 x+a <2 ，Q= x x+1 x+a ≥2 ，则可知两者的并集为P∪Q并不是全体实数集 R ，而是P∪Q= R -{-a}。解法二的错误根源就是在这里：将本试题的全集当作全体实数集，而忽略了元素-a的特异性。

其实，我们只要对1是否属于集合Q和{-a}分两种情况讨论，即可轻松解决这个疑惑。

1. 若1∈Q且1≠-a，则 1+1 1+a ≥2，即-1

2. 若1Q且1=-a，则a=-1。

综上所述，不等式解集为a∈[-1，0]。

由此可见，此题第二个解答的错误根源在于问题讨论基础的“数的范围”扩大了。

当然，“式数型”试题很多，导致解答错误的原因也有很多。但是，就试题本身而言，这种因为“式的结构”和“数的范围”不同而导致的错解，确实不能等闲看待。在教学中，需要用形式数理的手法，通过“形”的直观和“理”的次序，透视“式”的抽象与“数”的广泛，转抽象到直观，化疏阔为条理，让学生不但知其然，还能知其所以然。这样，才能从根源上彻底纠正一错再错的现象。

作者简介：

刘冠西，贵州省铜仁市，铜仁二中。