剖析关键激活思维凸显能力

彭光请

【摘要】所谓“新定义”型试题，指的是用下定义的方式给出一个新的符号、概念、运算、图形等，要求学生做到“化生为熟”“现学现用”，全面考查学生的阅读理解能力、数学规则的选择与运用能力和数学问题的解决能力.新定义试题以其新颖别致的形式、全面考查的功能越来越成为中考数学学科命题的热点.本文通过选取几道2017年各地新定义型试题，进行归类剖析，以其揭示解答这类试题的关键.

【关键词】新定义；中考试题；解题关键

“新定义”型试题指利用教材中一些数学概念的拓展、变式或重新定义一种新的符号、概念、运算或图形，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.试题主要考查学生学习新知识的能力，综合运用数学知识分析、解决问题的能力.下面就2017年各地中考中出现的数学“新定义”试题，摘取几例进行分类评析，以其探索解题的关键与方法.

一、定义一个新符号，理解符号规定是关键

“新定义符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求学生读懂符号，了解新符号所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题.

评点 本题定义了一个新的数学符号，学生要通过对定义内容的阅读，提取相关信息，读懂符号，正确理解[x]，（x），[x）三种符号规定的含义才能顺利解题.试题虽然是要求从并列的四个小题中选取正确的判断，但解答时可以从①②小题的具体数字入手，对规定的符号熟悉理解后，继续进行③④小题辨析解题.试题着重考查学生阅读和理解能力，符号意识和分类与整合的数学思想.

二、定义一种新概念，理解概念内涵是关键

“定义新概念”是对已学过的概念属性进行适当改变或类比、引申等方法定义一个新的概念，这类试题遵循学习数学概念过程（学习概念→巩固概念→运用概念）进行命制.解这类试题的关键是理解新概念内涵，在把握本质的基础上对问题做出解答.

例2 （2017年湖南益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”.

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图像上？为什么？

（2）M，N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m，n的代数式表示）；

（3）在抛物线y=x2+bx+c的图像上有一对“互换点”A，B，其中点A在反比例函数y=-2x的图像上，直线AB经过点P12，12，求此抛物线的表达式.

评点 本题以新定义“互换点”的方式考查反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式等知识.问题解决关键在于学生能够利用原有认知结构中知识，对新概念“互换点”内涵的理解与运用.问题（1）关注对新定义的数学概念“互换点”同化，解题的关键是辨别“ab=0”时，点不在反比例函数图像上；问题（2）是考查学生对新定义“互换点”掌握，进一步考查学生用待定系数法求一次函数解析式；问题（3）关注考查学生对数学问题的发现与运用“互换点”及所学过的函数图像上点的特征，确定二次函数解析式的能力.问题解决过程需要学生具备一定的逻辑推理能力和运算能力，本题是一道较好的新定义题目.

三、定义一种新图形，认识图形特征是关键

“定义新图形”试题呈现的一般结构为：给出新图形定义→了解新图形结构→理解和运用新图形性质.而理解新图形性质特征是解题的关键.

例3 （2017年湖北咸宁）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.

评点 本题定义新图形——“智慧三角形”本质是判定三角形是直角三角形，目的是通过“智慧三角形”考查直角三角形的性质、正方形性质、相似三角形的判定与性质和圆的基本性质等相关知识.问题解决关键在于学生能够从题意中获取新图形的特征信息，利用对新图形的特征的理解，解决试题提出的不同层次的三个问题.问题（1）利用圆周角定理的推论，辨析“直径与圆上一点构成三角形”是否是“智慧三角形”考查学生对定义的理解；问题（2）是在正方形中，判定给定三角形是否是“智慧三角形”，问题的解决需要学生结合图形提供的信息，从记忆储存中提取正方形、相似三角形信息，考查学生演绎推理能力；问题（3）着重考查学生运用“智慧三角形”图形特征进行合情推理，考查学生推理能力和解决问题的能力.

四、定义一种新运算，理解算理算法是关键

“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法.运算时，严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算.

评点 本题F（n）实质是定义一个程序问题：先求“n的最佳分解”，再算“F（n）=pq”，理解新定义中所确定的算理算法，按照正确的运算顺序进行计算是解题的关键.问题（1）、问题（3）是考查新的运算符号“F（n）”的理解与运用；问题（2）本质上是规定了求“吉祥数”的运算规则.这种将考查算理算法的问题融入阅读理解的“新定义”试题中，值得借鉴.

五、定义一种新性质，理解性质本质是关键

“定义新性质”是通过一个新的定义呈现数学表征内在所具有的某些特征.解决这类问题关键是抓住性质的本质，理解运用性质特征，再结合已学过的知识解题.

评点 本题是一道压轴题，是在坐标背景下定义了“关联点”，要求学生根据“关联点”的性质探究点的横坐标的取值范围，考查一次函数的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系和两点间的距离公式等知识.问题的解决关键是正确理解“关联点”的本质：图形M上存在点Q，使得|PQ|≤1，懂得结合图形进行定量化分析和逻辑推理，进而解决问题.本题设置的三个问题层层递进，问题（1）考查对“关联点”性质的理解与运用，关注学生的阅读与理解能力和处理信息的能力；问题（2）着重考查考生的分类思想和解决问题的能力.

综上，要求理解“新定义”是解决“新定义”型试题的关键所在，能够在原有认识结构与新知识之间的迁移，确定探索方向，然后运用类比与归纳的方法寻找合理的解题思路.

第一，“新定义”试题要求学生在较短时间内自己阅读新知，再运用相关的知识去解决问题，这需要学生具备迅速而较强的信息收集处理能力和数学理解能力，即一种较高的抽象概括能力.这种能力需要教师在平常的课堂教学中，自觉培养学生自主学习的能力和主动探索的品质，坚持“先学后教”的原则，同时不断加强对学生学习策略的指导.

第二，“新定義”试题有力地挑战了“题海战术”和“模型”训练，需要我们关注数学知识的形成和发展过程，重视数学“过程与方法”教学，提高学生分析与综合、归纳与概括的能力.“新定义”试题虽然知识新颖，但问题的解决仍然是运用学生已有的知识和经验，试题的求解过程实质上就是探索知识的发生、形成和运用的过程.这警示我们要加强数学概念的理解与解释，数学规则的选择与应用，数学问题的发现与解决的教学，并在长期的学习探索和实践过程中，培养学生创造性的思维和解决问题的能力.

第三，“新定义”试题的解答过程蕴含着数学思想，需要设计解决问题的策略、过程和程序，这与课标（2011年版）要求教学重视“基本思想”的领悟和“基本活动经验”的积累相一致.我们知道数学思想是探索和研究数学的基础，是解决数学问题的主线，数学活动是伴随学生相应的数学知识学习而设计的观察、试验、猜想、验证、推理与交流、抽象概括、问题反思与建构等活动.因此，我们应在教学中摒弃只重视基础知识和基本技能的做法，关注和重视基本思想和基本活动经验教学.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]徐晓红.“新定义”试题——中考压轴题的新走向[J].中学数学杂志，2013（8）：53-55.

[3]曹义钊.中考数学中“新定义”问题的类型及教学策略[J].中学课程辅导·教学研究，2016（24）：103-104.

[4]魏巍.2015年高考数学中的新定义型试题例析[J].中学数学杂志，2015（9）：60-61.