2018年高考数学两道解析几何试题同一源头的探讨

严运华

2018年全国高考数学I卷文科第20题为：设抛物线C：y2=2x，点A（2， 0），B（-2， 0），过点A的直线l与C交于M，N两点.（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM=∠ABN.

2018年全国高考数学I卷理科第19题为：设椭圆C： +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2， 0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设点O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

以上两道试题，无论题设条件，还是问题结论，都具有极大的相似性，只是曲线的形状不同. 两道试题蕴含的本质如何？有怎样的联系？

对于上述文科卷试题的第二个问题，可分别抽象出一般结论：

命题1：设抛物线C：y2=2px，点A（2p， 0），B（-2p， 0），过点A的直线l与C交于M，N两点. 则直线BN、BM与x轴成等角.

证明：显然，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x=ty+2p，

联立抛物线方程得y2-2pty-4p2=0，

设M（x1， y1），N（x2， y2），则y1+y2=2pt，y1y2=-4p2，

设直线BM和直线BN的斜率分别为kBM，kBN，

则kBM+kBN= + =

，

而x1=ty1+2p，x2=ty2+2p，代入上式得kBM+kBN= ，

将y1+y2=2pt，y1y2=-4p2代入上式得kBM+kBN=0，则∠ABM=∠ABN；

故直线BN、BM与x轴成等角.

若发现A，B两点的横坐标之和为零，可得出以下一般结论：

命题2：设抛物线C：y2=2px，点

A（m， 0），B（-m， 0）（m≠0），过点A的直线l与C交于M，N两点. 则直线BN、BM与x轴成等角.

证明：显然，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为，x=ty+m，

联立抛物线方程得y2-2pty-2pm=0，设M（x1， y1），N（x2， y2），

则y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，设直线BM和直线BN的斜率分别为kBM，kBN，

則kBM+kBN= + =

，

而x1=ty1+m，x2=ty2+m，代入上式得kBM+kBN= ，

将y1+y2=2pt，y1y2=-2pm代入上式得kBM+kBN=0，则∠ABM=∠ABN，

故直线BN、BM与x轴成等角.

对于其他形式的抛物线，亦有类似结论：

命题3：设抛物线C：x2=2py，点 A（0， m），B（0， -m）（m≠0），过点A的直线l与C交于M，N两点. 则直线BN、BM与y轴成等角.

证明过程类似，此处不再详述.

对于今年全国高考数学理科卷第19题的第二个问题，发现点M恰好是椭圆准线与x轴的交点，于是可以得出如下结论：

命题4：过椭圆C： + =1的右焦点F的直线l与C交于A，B两点，点M（ ， 0）. 其中c为C： + =1的焦半距，则直线MA、MB与x轴成等角.

证明：当直线l与x轴重合时，结论显然成立；

当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x=my+c，

联立椭圆方程得（b2m2+a2）y2+2b2mcy-b4=0，

设A（x1， y1），B（x2， y2），则y1+y2=

- ，y1y2=- ，

设直线MA和MB的斜率分别为kMA， kMB，

则kMA+kMB= + =

，

因此kMA+kMB= ，

将y1+y2=- ，y1y2=- ，代入上式得kBM+kAM=0，

故直线MA、MB与x轴成等角.

再探究发现：点F和点M的横坐标之积为a2，于是可将命题3进一步拓展为：

命题5：设椭圆C： + =1，过点 N（n， 0）的直线l与C交于A，B两点，点M（m， 0）. 且mn=a2，设O为坐标原点，则直线MA、MB与x轴成等角.

证明：当直线l与x轴重合时，结论显然成立；

当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x=ty+n，

联立椭圆方程得（b2t2+a2）y2+2b2tny+b2n2-a2b2=0，

设A（x1， y1），B（x2， y2），则y1+y2=

- ，y1y2=- ，

设直线MA和MB的斜率分别为kMA， kMB，

则kMA+kMB= + =

，

因此kMA+kMB= ，

由y1+y2=- ，y1y2= 得

2ty1y2+（n-m）（y1+y2）= - = ，

又mn=a2，代入上式得kMA+kMB=0，故直线MA、MB与x轴成等角.

将椭圆的相关结论推广到双曲线，则有：

命题6：设双曲线C： - =1，过点N（n， 0）的直线l与C交于A、B两点，点M（m， 0）. 且mn=a2，则直线MA与MB与x轴成等角.

证明方法与命题5类似，此处不再详述.

将命题2、命题5、命题6整合后可统一成如下命题：

命题7：设M、N是圆锥曲线C的一对“等角点”，过点N的直线l与C交于A，B两点，则直线MA与MB与x成等角.

若圆锥曲线C为抛物线y2=2px，则两“等角点”的坐标分别为 M（m， 0），N（n， 0），其中m+n=0，且m≠0.

若圆锥曲线C为椭圆 + =1或双曲线 - =1，则两“等角点”的坐标分别为M（m， 0），N（n， 0），其中mn=a2.

显然，2018年高考数学的两道解析几何试题就是命题7的具体呈现形式. 近年全国高考数学常以上述结论为背景命题，如2015年全国高考数学理科试题第20题：

在直角坐标系xOy中，曲线C：y= 与直线y=kx+a（a>0）交于M，N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

这其中的第二个问题，就是命题3的特例.

由此可见，2018年高考数学文科卷、理科卷的两道解析几何的源头相同，有着相同的根，只是呈现的形式不同. 文科卷试题以抛物线为背景，运算过程较简洁；理科卷的试题以椭圆为背景，运算过程比抛物线稍复杂. 通过设置的位置和运算过程的繁简程度来实现文科与理科数学的区别. 事实上，不仅是解析几何试题有此特点，其他内容如函数试题等也是按此思路来命题.

注：本文是广东省教育科研“十三五”规划课题“高中数学核心素养的培养及评价研究”（课题批准号：2017YQJK023）的阶段性成果.

责任编辑 罗 峰