结构教学法与如何解题

李鸿志

摘 要：“如果一个学生的大学课程中包含了某些数学科目，那么他就有了一个独特的机会”出自《怎样解题：数学思维的新方法》一书，作者是一位享誉世界的美国数学家和数学教育家波利亚（George Polya）。结识此书，是笔者的幸运，也是事业新篇章的开始。

关键词：初中 结构教学法 解题

关于如何解题，筆者并没有完全照搬作者的四步法，概括起来，包含以下四步：第一，必须理解题目。第二，找出已知数据与未知量之间的联系。如果找不到直接的联系，你也许不得不去考虑辅助题目。最终你应该得到一个解题的方案。第三，执行方案。第四，检查已经得到的解答。波利亚作为一位享誉世界的数学教育家，他的理论具有普遍意义，但是，结合自身工作的十多年经验，笔者意识到要结合自身的教育环境，有所丰富和发展。中国的国情是发展的不均衡，同样在哈尔滨市的各个区县，每所学校又存在这样或那样的差异。就是在同一所初中，也存在届与届之间的不同。一位耕耘讲台数十载的一线教师：北京市数学特级教师，中国数学会理事，全国人大代表孙维刚老师以及他的“结构教学法”映入了我的眼帘，之所以选择了孙老师的理论作为笔者工作的突破口，这与他所带过的毕业班成绩息息相关。孙老师的学生们学习灵活性都很强，也都有很强的自学能力。孙老师带的班成绩都好得惊人，最好的班有全班55%的同学考上清华北大，其余全是一类本科，更难得的是他从不布置课后作业，即使高三学生也能保证每天睡到8个小时以上，这简直不可想象，但是孙维刚老师，做到了！这给了笔者巨大的震撼！笔者从2012年起，连续三年带初四毕业班，有一定的成绩积累，但是这其中的遗憾自己是最清楚的，哪个孩子如果……，也许……，但是，能不能少留遗憾或者不留遗憾？这是我当老师最常想的，既是困惑，也是事业的瓶颈所在。看到了孙维刚老师的平凡与伟大之后，我觉得，我也可以。也正是因为有这样的心愿和想法，关于孙老师的书籍就成为我手头上的常备书。“结构教学法”概括起来：一、学会找知识的新旧联系。二、让思维前置和动笔前移。三、具备学习的四种基本能力。

下面笔者结合这几年的毕业班教学经验，谈谈笔者是如何综合运用波利亚和孙维刚老师的教学法来大面积提高初四数学成绩的。

结合“结构教学法”的第一条论述谈谈笔者的认识：哲学上讲，事物是普遍联系的，现在虽然是知识爆炸的时代，但是知识的演进确是有其规律的，数学领域尤其如此。从①数学形成时期，人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，但是算术与几何还没有分开。到②初等数学，即常量数学时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数。再到③变量数学时期。变量数学产生于17世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分（Calculus），即高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。直至④现代数学。现代数学时期，大致从19世纪上期叶开始。数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础——代数、几何、分析中的深刻变化为特征。

回顾这一路的进化，是螺旋式上升的过程，是几何与代数，抽象与具体交替运用，相互影响的过程。这一激动人心的知识交叉造就了数学大厦的伟岸挺拔和枝繁叶茂！而所谓知识的“新旧”其实是指出现时间的先后。孔子讲：“温故而知新，可以为师矣”，说的就是固本的重要性。所以知识哪里有老了这一说，也正是因为有这样的误解，学生在学习时不注重已有知识的巩固与提炼，而是一味的只图学新知，图快，图捷径，这些都是误区！只有基础牢固，知识的调用才快且准确！笔者时常跟学生讲，处在青春期的你们不要因为受老师和家长的管教就怨恨我们，静下心来，付出功夫但是成绩平平的原因是知识离你的距离不均等造成的。光有一番热情，踌躇满志地走进考场，垂头顿胸，沮丧哀叹地出考场，是因为老师没教过吗？是因为没学过吗？都不是！事后孩子们总是说初四总复习期间，我都做过这些题呀，知识点一说就会，一做就蒙，是什么原因？究其原因，知识碎片化，知识组织不合理是最重要的原因。根据心理学发现：学优生和学差生的知识组织是不一样的。学差生头脑中的知识是零散的和孤立的，呈现水平排列方式、列举方式，而学优生头脑中的知识是有组织和系统的，知识点按层次排列，并且知识点之间有内在联系，呈现出一个层次网络结构。如果知识在头脑中无条理地堆积的话，那么知识越多，越不利于问题的解决，就像是进入图书馆借书一样，当书按一定顺序整齐地排列着，那么书会很容易找到；但书如果无顺序、杂乱无章地堆放着，我们就很难找到需要的书。有些家长会说自己孩子上课听讲很认真，也挺聪明，但就是考试不出成绩，上课时都会，就是不会做题。什么原因会这样呢？其实这就是知识零散造成的结果。结构乃是决定事物性质的重要因素。学生获取信息学习课内外知识，将这些信息、知识进行有目的的加工整理，即把个别的、零散的、无规律的知识、信息，进行分析、归纳、筛选，按其内在联系， 分门别类，纳入相应的“知识库”中，使之结构化、系统化，形成网络。这样，运用时可以准确、迅捷地从“知识库”中提取有效的知识信息解决问题，吸收新知 识、信息，进而掌握《大纲》中应掌握的知识，形成《大纲》中应形成的能力。对知识信息进行加工整理，并纳入相应的“知识库”，使之结构化、系统化，形成“知识网络”，简而言之：整理知识。这是建立合理的知识结构的关键环节。它实际上包含这样的两个方面：（1）知识门类化，即对所获取的个别的、零散 的、无规律的知识信息进行加工、筛选、并按其内在联系分门别类：（2）知识结构化，即将门类化的知识、信息纳入“知识库”中，使之结构化、系统化，形成知识网络。合理的知识结构可以在运用时，快速、准确地提取有效的知识。—个人是否真正把知识学到手了，要用“运用”来检查。如果学了许多知识但不能在“运用”中表现出来，所贮存的知识不能根据需要成为进一步学习和解决实际问题的智慧和力量，那就是没有把知识学到手。引导学生建立合理的知识结构，就是为了帮助学生快速提取，充分运用己掌握的知识，使知识发挥作用。当你走进一座相当规模的图书馆，藏书几万、几十万、几百万乃至上千万册，想借一本书，只要你递上索书单，工作人员就能从数以万计、十万、百万乃至上千万计的茫茫书海中，快速、准确地找到它，让你如愿以偿。为什么能这样迅速而准确地做到呢？最根本的一点是：图书馆中的每本书，并非零散的，无系统性、规律性的，而是按某种结构标准进行划分归类，使它们从属于各自的类目。工作人员就是以这为基础，根据这些，从相应的不同级别的书库中、书类目中准确快速地找到它的。试想如果你不提供这本书所在的类目情况；如果图书馆的数以万计，乃至上千万计的书没有进行有目的的整理，分门别类，而是随意堆放，毫无规律性、结构 性，那么，工作人员要找到它真的如大海捞针，千难万难。由此可见，图书馆的运作过程中，把图书按一定的标准加以分类，并根据这种分类建立相应的各级别各类目的书库，按照设定的各级别各类目的书库情况，对进入馆内的每本书进行分类，标明其从属的类目，至关重要。

由此，结构教学法就凸显出其重要的价值和实际意义。以数学为例，我就有过这样的处理，当时并不知道这样的做法已经被他人理论化，系统化。这也说明我们的一线老师应该自信，自信于我们的工作是有价值的，自信于我们只要破除不必要的藩篱，以学生最终掌握知识为最大公约数，紧紧服务于人性化的教育，人性化的管理和人性化的责任担当。在我讲初四弧长和圆心角这一节时，小试牛刀了一下。弧长公式是尽管书上有360°的分割法，但是学生在具体操作时，基本忽略。这是实际真实情况，不是老师的主观臆断。那么，如何处理？相信很多老师也是如此操作的，那就是讲透无论是弧长还是扇形面积，它们都是圆的一部分，一个是圆周长的一部分，一个是圆面积的一部分。那么，这一部分就是理解的重点，通过举例子，比如：

图中，AC⊥BD，扇形AOD的弧长是多少？面积是多少？学生会很容易脱口而出：是圆周长和面积的四分之一；问题继续推进：四分之一是怎么来的？

回答： 。

这样，就初步解决了公式的推导问题：

，

书上就是这两个公式，但是，考察时却非常灵活，由于这两个公式中都含有相同的量：n，π，R，所以：l和S之间必然可以相互表示。

这样：，

这就是第3个公式；当扇形围成立体的圆锥时，

带入中，则，

此为第4个公式；

最后，公式和公式

联立推出：，此为第5个公式。我认为这样的推导授课是符合结构教学法的，之所以摒弃死记硬背式的授课，看似耽误时间，实则这样有助于理解式记忆，在关键时可以自己按逻辑推导。初中的孩子的智力发育水平是从具体转为抽象，采用结构教学法，给学生的是知识的体系，得到的是系统的能力。

那么结构教学是否仅仅适用于初四的教学呢？非也。知识体系的构建是螺旋式的，仅应用题就分散在每个阶段的学习中，尽管对应不同的学段，但是正适用于结构教学，在这当中用到归纳法，逻辑演绎法，分类讨论法。在知识上指导学生注意追根究底，寻找知识之间的联系和规律，在比较中学习新知识、站在哲理的高度思考问题，注重联想。在解题中指导学生一题多解，多题归一，多解归一，归纳共性，分离个性，从而形成强大的学习能力。

结合“结构教学法”的第二条论述谈谈笔者的认识，让思维前置和动笔前移。这一条是宏观的指导，具体应该参考波利亚的做法，他给出了四大步骤：理解题目、拟定方案、执行方案、检查解答。笔者在具体的备课的过程中，把整个复习看成一个螺旋上升的进程，坚持量变产生质变的原则，打破一轮二轮三轮复习的模式，在班级建立起大循环的知识结构意识，每天都要练习中考试卷中的1～20题，一般而言，60分的卷面，初始阶段的平均水平在45分左右，阶段目标是57分到60分。这是策略层面，方案就是要坚持，每天上午的课除了要把当天的复习要点处理完之后，马上转入到基础题的复习，由于学生在校的认真程度要远远好于在校外，因此，抓紧课上的时间进行做题是必要的，也是可行的。这有如下的好处：把考试作为一种习惯前置到考前的每一天，心理层面就适应的比较好，笔者很反对空洞的的说教，孩子能坦然地走出考场绝对不是考试当天注意到了所有需要注意到的问题，而是他已然形成了一种习惯，这种习惯能够兵来将挡水来土掩，遇到问题就兴奋，不是害怕问题的出现。因为把临考的一切准备有条不紊的前置好了，接下来就按照知识的内在结构，把初中的整体指示贯穿好，这要求我们的老师打通初高中的知识壁垒。形成前后呼应的，左右逢源的知识网络。循序渐进，逐步优化，这是整体的观念。在这样的原则指导下，我们的成绩在最开始并不显出什么特别之处，但是当整个学校的复习进行到三轮复习之后，我所带的班级的成绩就开始稳步提升，道理很简单，只知道老师领着复习到哪的学生或班级，犹如熊瞎子掰苞米，掰一穗丢一穗。所得甚少，几无所会，而且普遍表现出疲劳感。因为过去的几轮复习中，学生认为学会的也只是树木，而很少见到森林。现在老师们所认为的进行完一轮二轮复习，孩子就应该如何如何，实际上一再被大多数学生所打脸。事实胜于雄辩，在升学这样的硬性安排下，不可能一味的靠给学生压力和给家长压力来求得学生心甘情愿的学习。笔者在讲解比较难的试题的时候不是直接给出解决问题所用到的辅助线或数学思想，而是以一个学生的角度来挖掘思维深处的点点火苗，然后按知识的逻辑顺序或交叉关联，讲原理，渗透数学思想。在课堂中，也不应以45分钟为界限，应该说讲到哪，要看当堂学生的接受情况为准，这些对于教师的备课要求更加的严苛，不是把题，哪怕是老师所认为好题给学生就了事云云，所以，有必要先调整好老师自身的意识和实际的做法，在这方面，我还是要不断的摸索方法，调整心态，把课堂利用的更加高效。

在当下的数学教学中，教师普遍采用“基本形”的教学套路。所谓“基本形”就是一些典型例题，或者出现频率特别高的试题平台。比如“角分互补形”“共点双等边”“M形全等”“子母相似形”“含45°双垂形”等等，非常的流行。作为知识的集合体，能比较好的联系基础知识和中考试题，是“结构教学法”的有力支撑。每一届我都在坚持复习基础知识的同时，渗透这些能够带来思考，契合波利亚解题理论的教学模式。学生在这样的训练下，通过模仿和实践来学会他们所要学会的实践技能。要想提高学生的解题能力，必须逐渐培养学生思维里对题目的兴趣，并且给他们足够的机会去模仿和实践。因此，基于波利亚的这套理论，在“基本形”的教学模式下，循序渐进，横向找命题的规律，纵向找问题的深度。在连续三届的中考中，得到了不错的反馈。孩子们兴奋地跟我说：“老李，今年的20题你讲过！”我一脸茫然，不可能啊，原题怎么会讲过？“考的是你讲过的大角的拆分啊？”“是啊！可不是吗！正是讲过的题的条件套路”，真的和我平时研究的解题招数有关系！这样的结果更加鼓励我在平时的教学中挖掘怎样解题，既来源于基本题型，又不拘泥于基本形，跳出具体的某道题，而是从逻辑的必然性上来推进教学的每个环节。

结合“结构教学法”的第三条论述谈谈我的认识，具备学习的四种基本能力。（1）发现研究对象的能力；（2）围绕研究对象确定研究角度的能力；（3）尋找知识之间联系规律的能力；（4）建构知识网络制作联系导图的能力。所谓各种能力，关键还在于平日的教学策略。教师对于整个教材的把握决定了老师对于学生能力的设定高度，越是对知识体系有清晰透彻的认知，越是有知识的架构方案。比如说因式分解的意义是什么？在实际学习活动中，学生经常犯这样的错误。就是把因式分解和整式的乘法相互混淆，光用概念“积化和差”意义不大。我在具体的教学中，我引入这样的例子：求解方程x2-3x-10=0和（x-5）（x+2）=0，在解答之前，我问学生：哪个方程更加容易看出答案？学生异口同声是（x-5）（x+2）=0，因为x-5=0或x+2=0，这样的认识是基于ab=0a=0或b=0，那为什么容易解决呢？最后发现是因为方程的左侧通过因式分解后次数由2次变为了1次，这就是因式分解的意义所在。我再结合整个中学阶段关于解方程的两大方法开始引导，一个是消元，一个是降次，学生顿感通透，同时对于因式分解更加的有兴趣。这个过程就是赋予学生能力的过程，所以老师在这样的过程中，既是学习的组织者，同时又是能力开发的引导者，可以这样下结论，做再多的因式分解的试题，都不如先领会它的意义来的重要。知识结构的合理与否直接决定着孩子能力的发展水平。所以，研究结构教学法和波利亚的怎样解题，都是在不断的反思自我。也只有自我充实了，知识框架完备了，那么驾驭课堂的能力就自然有了。孩子们的解题能力、思维水平、综合素质就会水到渠成，要的只是耐心和平常心。

结语

教师作为教学活动的主体，把孩子们在学习活动中的每一面都作为研究的课题，因地制宜，因材施教，必然会沉浸在教学中，接受更多先进的教学理念和最有效的做法，而不是故步自封，亦步亦趋。我们要做孩子们快乐成长的引路人，这个过程艰辛，但充满正能量！