彰显数学文化：教学设计中的三个自问

侯代忠 喻 平

(1.广西师范学院 530001 2.南京师范大学 210097)

教育部颁发了《普通高中课程方案(2017年版)》，指出各学科基于学科本质凝练本学科的核心素养，明确学生在学习了该学科课程后应达到的正确价值观念、必备品格和关键能力.在同时颁布的《普通高中数学课程标准(2017年版)》中，提出了6个核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析.如何在课程实施中实现发展学生数学核心素养的目标，成为当下教学研究一个高度关注的问题.

学科核心素养的提出，是从以知识为中心的教学目标向能力为核心的教学目标的转型，因而教学不应当是一种单纯的知识教学，而应当是一种以发展学生能力为主导的教学，其中，文化元素起着十分重要的作用.在这个教育背景下，教学应当做到知识教学与文化教学的结合.[1]在数学学科教学中，要培养学生的数学核心素养，必须考虑数学文化，因为它扮演着一个不可缺少的角色.《普通高中数学课程标准(2017年版)》中明确指出：“数学文化应融入数学教学活动.在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透到日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养；将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生的视野、提升数学学科核心素养.”

如何将数学文化元素融入教学中？我们认为，教师在教学设计时要思考三个问题：①为什么要研究这个知识？②是怎么研究这个知识的？③这个知识有什么价值和意义？思考这三个问题，就能有效地提练数学文化.[2]

第一，为什么要研究这个问题？必然与数学史相关，你就会在数学史中去寻求答案.寻找产生这个问题的缘由，从社会需求还是数学学科发展需求两个方面来思考，从而揭示呈现的数学文化.第二，怎么研究这个问题的？这当然与数学思想方法相关，数学思想方法是文化的精髓，通过揭示数学思想方法，宣扬科学家的理性精神、求实态度，从而彰显深邃的数学文化.第三，这个知识有什么价值和意义？你就会思考这个知识有什么科学价值？有什么社会、经济建设应用价值？有什么学科美学价值？有什么思维训练价值等等，从而散发浓郁的数学文化.

1 教学设计中自问1：为什么要研究这个问题

教师在教学设计时要思考的第一个问题是：为什么要研究这个问题？或者说人们为什么要研究这个问题？追根溯源，自然会回归到数学的历史中去寻因.

数学史是一部记录，它描绘了数学这颗大树的主干与枝叶，记载了这颗大树成长的历程，铭刻了这颗大树经历的风风雨雨；数学史是一部传记，一部数学思想史，它记录着数学家探究问题的历程和艰辛，饱含着数学家追求真理的信念和精神，贯穿着潜在于数学理论深层的数学思想，涵盖着发现问题、解决问题的方法.同时，数学史又留下了许多美丽的故事.将数学史与数学知识的有机融合，是实施数学文化教学的极佳材料.这种渗透可以体现在概念教学、命题教学和解题教学的各个层面，也可以在课外活动中进行.

教材的编制往往是从知识的逻辑结构来组织内容的，教材中的知识都是以结果的形式陈述，并不反映这个知识的产生过程.因此，教材中知识展示的顺序，往往与历史上产生这个知识的顺序是相反的.在教学设计中，教师从“为什么要研究这个问题”的角度思考，就能厘清知识产生缘由，还原知识形成的过程.

例如，“合并同类项”的教学，按照教材的结构，一般是先讲“同类项”概念，然后再讲合并同类项的方法.如果按照教材上的顺序处理教学内容，那么教学设计就是注重知识的“科学性”而忽视了知识的“文化性”.下面的教学设计反其道而行之，彰显了知识的文化特色.

案例1合并同类项的教学

1．设置问题情境

教师提出问题：能不能使解题过程简捷些？

学生讨论后得到思路：把x2y看成整体，即先计算x2y的值再代入.(解略)

教师再问：能不能使上面的解题过程再简化呢？

学生发现：-4x2y，2x2y，-7x2y中的字母部分完全相同，不论x，y取什么样的值，不同项中的x，y都表示同一个数，于是用□表示x2y，那么原式即为：-4□+2□-7□.

根据乘法对于加法的分配律，可以化简为：(-4+2-7)□=-9x2y.然后再代入计算，即先合并，再计算.(至此，学生已发现了合并同类项法则)

2．揭示同类项概念的内涵

围绕以下问题讨论本题的解法：怎样才能得到简捷的解法？(使用“先合并，再代入”的方法)

教师提问；为什么能把3x3，9x3，-4x3合并处理呢？为什么不能把x与x3合并处理呢？那么什么样的项才能“合并”呢？(字母部分完全相同)

教师追问：什么叫做“字母部分完全相同”？为什么要求字母部分完全相同？(因为只有这样，才能保证字母部分表示同一个数)

3．课堂练习

把下列式中可以合并的项尽可能地合并起来，并对解题过程进行讨论(哪些项可以合并？判别标准是什么？怎样合并？合并的根据是什么？)(题目略)

4．概括并给出同类项的定义和合并同类项的法则

练习(略).

这个教案似乎没有情境，但数学问题本身就是情境，而教案的鲜明特征是它颠覆了传统教学中先讲“同类项”概念，然后再讲“合并同类项”法则的模式，而这样的顺序其实并不是知识发生的顺序，而且知识表述的逻辑顺序.这种表述方式掩盖了概念产生的问题背景，使学生难以投入到学习活动中去，在很多时候学生只能通过死背和大量的练习来代替理解.

上面教案的成功之处就在于通过设计一个初始问题，让学生在解决这个问题的过程中，进行思考、创造，在得到“先合并，再代入”的方法后，进一步抽象出同类项的概念，从而再现了知识产生的过程.同类项概念产生，是在为了简化解决问题的方案中产生的，并不是先定义了同类项概念，再研究怎样合并同类项，从而使学生明白了“概念是为了解决问题而定义的”道理.这样的教学设计理念，不是把知识的结果直接交给学生，而是在揭示隐含在知识中的历史文化，使学生受到数学文化的熏陶.

一般说来，思考“为什么要研究这个问题”有两种途径，一是数学理论发展的需求，即随着知识的发展而创生新的知识；二是解决问题的需要，即为了解决一个问题而引入新的概念.这两种途径都与数学史息息相关，而且，数学史往往有许多有趣的故事，将这些故事融入课堂，就是数学文化的再现，对于激发学生的学习兴趣有积极的作用.

几何定理的产生，有很多情形是由图形的变式得来的.这种变式，往往会把看起来不相关的两个命题联系到了一起，从而沟通了两个命题之间的联系，同时也喑示了“为什么要研究这个问题”的一种思考.

案例2弦切角定理的教学[3]

1.问题引入

观察 如图1，以点D为中心逆时针旋转直线DE，同时保证直线BC与DE的交点落在圆周上.当DE变为圆的切线时(如图2)，你能发现什么现象？

图1

图2

2.学生探究

学生围绕下面问题思考：根据圆内接四边形的性质，图1中∠BCE=∠A.在图2中，DE是切线，∠BCE=∠A仍然成立吗？

由于图2是图1的极限情形，于是可以得到猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A.

3.证明猜想(略)

4.定义弦切角(略)

对于一些著名的定理，为什么人们不厌其烦地研究对它的证明？这是因为这个定理太美，它的证明本身就蕴涵了深遂的思想和奇异的方法.譬如“勾股定理”的教学，许多教师会考虑设计一条发现该定理之路.在课堂上发给学生一些工作单，边长为3，4，5等一系列直角三角形，让学生通过测量、计算、填表的实验方法去发现直角三角形三条边之间的平方关系.但是反思这种设计会发现它并不是真正意义上的发现，而是教师事先设计的一条路让学生去走，毫无探究的元素.其实，勾股定理的教学重点应当放到证明方面，因为它的证明方法、文化内涵才是真正有价值的东西，学生在学习中可以去探究不同的证明方法，可以欣赏中国数学家做出的面积出入相补方法，赵爽的代数证明方法，并与几何原本中的面积证明方法进行比较，不仅可以训练学生的思维，同时也能感受数学文化，提高民族自豪感.

2 教学设计中的自问2：这个问题是怎么研究的

教师在教学设计时要思考的第二个问题是：这个问题是怎么研究的？或者说人们是怎么研究这个问题的？研究数学问题必然与数学方法有关，与数学思想相联.在教学中通过知识的生成过程或者命题的证实过程，充分揭示蕴涵在知识中的数学思想方法，就是在展示数学的文化元素.

数学思想和数学方法往往伴随着个别知识而出现，但它更多的表现则是扮演着对一类知识的统摄和引领角色，是一类知识共性的理性抽象.如果把数学理论知识比喻为一颗大树，那么这颗树的根就是数学思想，它为大树的生成提供营养，支撑着大树的成长.事实上，数学思想的功能已不囿于数学自身体系内部，它的许多功能本身就具有一般科学方法论的意义，譬如：化归思想、极限思想、函数思想、统计思想等，领悟这些思想，对于学习知识能力的迁移、数学核心素养的发展都是十分有益的.

例如，初中一年级在讲有理数内容过程中，实际上是由两条线展开的，一条是从代数角度讨论“数”的性质，一条是从几何角度讨论“点”的性质.通过建立数轴将两者联系起来，于是研究有理数的问题可以转化为研究图形中对应点的问题，反之亦然.这里面蕴涵的是化归、转化思想，它不仅揭示了研究有理数的方法，而且体现了数形结合思想.在教学中，如果教师不揭开这层面纱，就难以使学生领略到潜藏在知识深层的文化元素.

案例3虚数的产生

教师提出问题：在解一元二次或一元三次方程时，出现了负数开方的问题，也就是说，是否存在一种数，它的平方为负数.这个问题的本质是：是否存在一个数，它的平方为-1？

教师讲述历史：笛卡尔对这个概念给出了明确的界定，他在其著作《几何学》中将负数开平方后得到的数称为“imaginary figure”，意为“虚无缥缈的数”.1777年瑞士数学家欧拉在其论文中首次用字母i，它满足：i2=-1，把i称为虚数单位.虚数也就由此而来，从而产生了复数a+bi的概念.

那么，复数与实数有什么关系呢？

高斯在平面直角系中建立了点与复数之间的一一对应关系，提出用数偶(a,b)来表示a+bi，这样就使平面直角坐标中每一个点对应一个复数,于是沟通了实数与复数的联系.1797年，挪威数学家韦赛尔引入向量来表示复数，高斯对其进一步完善，得到了复数的几何加法和乘法法则，最后由爱尔兰数学家哈密尔顿给出了复数的四则运算法则，并验证运算满足结合律、交换律和分配律.

复数产生的历史，反映出了这个概念产生缘由，同时看到对这个概念研究的方法，它是一种典型的化归思想，将虚数与实数之间通过坐标建立联系，从而将复数的运算转化为实数的运算，这是教学中必须强调的思想方法主线.

汪晓勤教授对函数奇偶性概念的产生作了考源.[4]1727年，瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文中，首次提出了奇、偶函数的概念.若用-x代替x，函数保持不变，则称这样的函数为偶函数.欧拉列举了三类偶函数：

若用-x代替x，函数变号，则称这样的函数为奇函数.欧拉也列举了三类奇函数：

接下来，欧拉讨论了奇偶函数的性质：

尽管欧拉在1748年出版的名著《无穷分析引论》中对函数奇偶性概念有所扩充，但只是针对代数函数而言，未涉及三角函数、反三角函数等，即没有把这个概念一般化.

从这个案例可以看到，大数学家在研究问题时也是从特殊情形入手的，从特殊到一般的研究问题方法，应当渗透到数学教学中去，这既符合概念产生的历史过程，也符合学生认知数学的心理规律，同时也是训练和提升学生数学思维的有效手段.因此，在教学设计时首先要思考一个问题：是否可以先将问题特殊化再引申为一般情形？

3 教学设计中自问3：这个知识的价值何在

除了数学知识、数学思想方法之外，数学文化还包括数学精神与信念、数学价值观、数学审美和数学应用.数学精神、信念是数学家共同体在追求真理、逼进真理的科学活动中所形成的独特的精神气质和坚定信念；数学价值观是人们对数学本体功能和外在功能的认识，是人们对数学的价值判断；数学的审美既是一种理性的精神也是一种人文素养，它能使人们去领略数学知识的深刻性，欣赏数学知识的完美性.数学应用表现在数学文化向社会渗透而生成其他亚文化，数学及其转化后的技术在进入社会文化的各子系统后表现出强大的文化功能，并给社会带来了重大的社会效益和经济效益.

教师在教学设计时要思考的第三个问题是：这个知识的价值何在？

第一，思考：这个问题有什么科学价值？

这里说的“科学价值”是一种狭义的理解，指这个知识在教材体系或者教学单元中的作用和价值.数学知识总是以逻辑关系构成体系，表现出网络形式.在某个知识网络中，如果一个知识点与其他诸多知识都有联系(按徐利治先生关于概念抽象度的定义，入度和出度大的概念)，那么说明这个知识点的基本性和重要性程度都比较高，在教学中应当高度关注.

教师在备课时，如果目光只是盯住本节课要教的内容，而不是一种整体考察，没有理清知识点之间的逻辑关系，那么就很难深度把握知识的内涵.例如，在讲授“分式的加减法”内容时，是否想过一个问题：教材中为什么把这个内容放到分式的乘除法后面？按一般的理解，应当是先讲加减法再讲乘除法.显然，这个问题不理清楚，怎么能深入把握知识之间的联系及其它的本质属性.当下提倡的“单元备课”，本质上就是希望教师厘清知识的“科学价值”.

第二，思考：这个知识有什么应用价值？

包括数学在现实生活中的应用，在其他学科中的应用.一般说来，凡是有现实生活背景或者科学背景的概念、命题，它们都有其应用价值，因此，在这类知识的教学设计时，可以考虑加入应用问题.但要注意的是，问题设置应当是真实的而非虚构的情境.一般说来，应用问题的设计有两种思路，一是从现实问题抽象出数学问题，二是将数学结论用于解决现实问题.

案例4圆面积公式的教学

圆面积公式本身很简单，学生在学习了这个公式之后，如果让学生练习的是限于“求一个给出已知半径的圆的面积或已知面积求圆的半径”等一类题目，那么学生的知识就没有从数学内部迁移到其他情境.显然，这种教学设计的“科学味”太重而“文化味”太淡.如果设计如下的一些应用问题，就会体现数学的应用价值和文化功能.

(1)两个厚度相同的圆饼，一个半径为10cm，售价为3元，另一个半径为15cm，售价为4元，问买哪一种饼更划算？

(2)现要将一块半径为20m的圆形土地分为面积相等的两部分，用其中一部分作为花园.请你设计几种方案.

第三，思考：这个问题有什么美学价值？

众所周知，数学美主要指数学的对称美、简单美、奇异美、和谐美，这些美主要针对数学知识的最终结果表现形式.另一方面，还应关注数学思维的美.徐迟在其著名的报告文学《哥德巴赫猜想》中，对数学家陈景润一串美妙公式，他用了一段优美的文字描写：“这些是人类思维的花朵.这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹.”这是对数学结果美的精彩描述，更是对数学思维美的生动刻画.

要注意的是，领略数学之美要让学生发自内心的自己认可，而不是由教师把美的理解强加给学生.美与丑是对立的概念，要让学生认可美就得让他们能够识别丑，这种对立统一观才能培养学生辩证的思维，发展他们追求美的意识和能力.

案例5黄金分割的教学

教师给学生观察几幅画，画面是一只鸟站在树枝上.将这只鸟放置在画中不同位置，让学生观察、讨论，从而辨析构图最好的一幅画.

教学实践证明，学生的意见形成高度一致，就是鸟位于画中横线黄金分割点与纵线黄金分割点相交的地方，其构图是最美的.这是学生发自内心的认可，而不是教师用黄金分割方法把一条线段分为两个部分，再把这两条线段的比例描述得多么地美丽，要学生承认、认同.

让学生学会用数学的思维去欣赏数学之美，用数学的眼光去解析自然之美，这才是数学美教学的真正目的.

第四，思考：这个知识有什么思维训练价值？

数学教育的目的之一是训练学生的数学思维，6个数学核心素养的基本表现形式就是数学思维的不同形式展现.在教学中应当注意，思维训练应当是多维的、全面的，而不是单一的、片面的.要做到逻辑推理与合情推理并重，证实方法与证伪方法协同.

案例6求证：sin2α+sin2β-cos2αsin2β+cos2αcos2β=1

这道题目本来是一个错题，也就是这个等式是不能成立的.一般说来，学生开始都是去证明等式成立，但是经过尝试之后，并不能解决这个问题.在学生从正面证实不能成功的适当时候，教师引导学生从反而思考，即通过证伪来判断这个等式不能成立.学生通过思考，会采用举反例的方法推翻这个命题.

教师再引导学生进一步思考：能否把这个等式进行改造，使它能够成立？学生通过探究，会使用不同的方法修正命题，得到一个正确的恒等式.

(1)由于原来的题目中有cos2αsin2β和cos2α·cos2β两者形式不对称，如果从数学对称美的角度思考，容易想到将前项cos2α变为sin2α，此时等式可能成立.经过验证这个等式的的确是成立的.

(2)可由构造法探究等式.因为sin2β+cos2β=1，

所以cos2α(sin2β+cos2β)=cos2α=1-sin2α，

所以sin2α+sin2β(1-sin2α)+cos2αcos2β=1.

所以得到恒等式：

sin2α+sin2β-sin2βsin2α+cos2αcos2β=1.

这节课将证伪的思想融入课堂中，教学过程中证实与证伪相得益彰，体现了数学思维训练的特殊价值.