商榷2018年高考题中表述欠严谨的20道题

北京丰台二中 (邮编：100071)

一年一度的高考是考生、老师、家长、学校乃至全社会关注的重点话题．2018年的高考已尘埃落定，笔者作为一名高中数学老师，也抓紧时间认真钻研了本年度的高考数学真题(文理共计13套，其中上海、浙江文、理同卷，江苏文、理除附加题外同卷)，发现了它们有试题常规(多考计算)、情景新颖、杜绝偏怪、难度在降低等特点，这也与新课改之精神、教育乃培养人的活动、数学本来应当是人人能够喜爱的美的科学合拍．但笔者发现有20道高考题在表述上欠严谨：虽然原题不会太影响考生正确答题，但作为高考题的权威性及引用的广泛性，还是要注意表述上的严谨．

笔者发表的文献[1]-[4]分别对2017,2016,2015,2014年的高考题在表述上欠严谨之处也作了商榷.

1 全国卷I

题1(2018年高考全国卷I理科第20题)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

商榷(1)因为现行高中数学教材(人民教育出版社·A版)中没有介绍最大值点的概念(给出了极大值点、极小值点、极值点的概念)，所以建议把第(1)问改为“(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),若函数f(p)的最大值是f(p0),求p0的所有值；”.

(2)建议把这道题目中的“EX”改为“E(X)”，这样才与现行新课标教材“普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-3·A版》(人民教育出版社2009年第3版)”一致．在以前的大纲教材“全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修II)》(2006年人民教育出版社)”中使用的记号是“Eξ,Dξ”，在而后的新课标教材中使用的记号是“E(ξ),D(ξ)”，这是否说明了记号“E(ξ),D(ξ)”更科学呢？笔者认为就是这样的：记号“E(ξ),D(ξ)”的含义类似于函数记号“f(x)”，把“E、D”理解为“对应法则f”更科学．

(1)讨论f(x)的单调性；

商榷本题与下面的一道高考题如出一辙(这对于高考有失公平)：

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

题3(2018年高考全国卷I理科第22题)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0．

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

商榷建议把这道题中的“正半轴”改为“非负半轴”.对2005年高考广东卷第20题也有这种建议.

2 全国卷II

题4(1)(2018年高考全国卷II文科数学第10题)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是

(2)(2018年高考全国卷II理科数学第10题)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是

商榷建议把题4(1)中的“在[0,a]是减函数”改为“在[0,a]上是减函数”；把题4(2)中的“在[-a,a]是减函数”改为“在[-a,a]上是减函数”.否则，语句不通.

(1)若a=3,求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点．

商榷建议把题中的“只有一个零点”改为“有且只有一个零点”.

3 全国卷III

题6(2018年全国卷III文科、理科第23题)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|．

(1)在图1中画出y=f(x)的图象；

图1

(2)当x∈[0，+∞)时，f(x)≤ax+b,求a+b的最小值．

图2

(2)由(1)知，当x∈[0，+∞)时，y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且两部分所在直线斜率的最大值为3,所以当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax+b在[0,+∞)时成立，因此a+b的最小值为5．

商榷建议把以上参考答案末的“f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立”改为“f(x)≤ax+b在[0,+∞)时成立”(否则，语句不通).

题7(2018年全国卷III理科第8题)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P(X=4)

A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3

商榷建议把这道题目中的“DX”均改为“D(X)”，理由同题1的商榷(2).

商榷建议把题目中的“在[0，π]的零点个数”改为“在[0，π]上的零点个数”(否则，语句不通).

图3

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

商榷建议把题目末的“面MAB与面MCD”改为“平面MAB与平面MCD”.

4 北京卷

题10(1)(2018年高考北京卷文科第4题)设a、b、c、d是非零实数，则“ad=bc”是“a、b、c、d成等比数列”的( )

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(2)设a、b均为单位向量，则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

商榷建议把这两个小题的前三个选项分别改为“(A)充分不必要条件、(B)必要而不充分条件、(C)充要条件”，这样与普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版·教师教学用书》(人民教育出版社，2007年第2版第11页习题1.2A组第3题的答案一致.

题11(2018年高考北京卷文科、理科第8题)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则( )

(A)对任意实数a,(2,1)∈Z

(B)对任意实数a,(2,1)∉A

(C)当且仅当a<0时，(2,1)∉A

题12(2018年高考北京卷文科第15题)设{an}是等差数列，且a1=ln2,a2+a3=5ln2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求ea1+ea2+…+ean.

解(1)设等差数列{an}的公差为d.

由a2+a3=5ln2,可得2a1+3d=5ln2.

再由a1=ln2,可得d=ln2.所以an=a1+(n-1)d=nln2.

(2)由(1)的答案数列{an}的通项公式为an=nln2,可得ean=enln2=(eln2)n=2n,所以

ea1+ea2+…+ean=eln2+eln22+…+eln2n=2+22+…+2n=2n+1-2.

商榷笔者认为，对于文科试卷的首道解答题，第(2)问有难度：在解答“enln2=(eln2)n=2n”中需要逆用幂的乘方公式(am)n=amn及考生不太熟悉的对数恒等式alogaN=N(且这里是其特例：elnN=N).

建议在第(2)问末给出“参考公式：alogaN=N”.

(1)求f(x)的最小正周期；

解可得

商榷笔者认为，官方(北京教育考试院)给出的第(2)问的参考答案：

……

题14(2018年高考北京卷理科第17题)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.

商榷(1)建议把这道题目中的两处“电影公司”均改为“某电影公司”.

(2)建议把这道题目中的“第一类、第二类、第三类、第四类、第五类、第六类”分别改为“第1类、第2类、第3类、第4类、第5类、第6类”，否则第(3)问中的“第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6)”与题设不符.

(3)建议把这道题目及其解答中的“Dξ,Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6”分别改为“D(ξ),D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)”，理由同题1的商榷(2).

5 上海卷

(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族S的人均通勤时间y2=8x(0≤x≤t,y≥0)的表达式；讨论y2=8x(0≤x≤t,y≥0)的单调性，并说明其实际意义.

商榷建议把题目中的“单日”改为“当日”(因为单日与双日是一对词).

还建议把题目中的“(1)当x在什么范围内时”改为“(1)当且仅当x在什么范围内时”，否则答案不确定：答案可以是(45,100)的任意非空子集.

题16(2018年高考上海卷第21题)给定无穷数列{an},若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*,都有|bn-an|≤1,则称{bn}与{an} “接近”.

(1)设{an}是首项为1，公比为n∈N*的等比数列，bn=an+1+1,n∈N*,判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；

(2)设数列{an}的前四项为：a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m；

(3)已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围.

商榷建议把题目中没有打引号的“接近”(共3处)带引号的“接近”，因为两者的含义不同.

6 浙江卷

商榷建议把题中的“设鸡翁，鸡母，鸡雏个数”改为“设鸡翁，鸡母，鸡雏只数”.

7 江苏卷

商榷建议把题中的“以AB为直径的圆C”改为“以AB为直径的圆(其圆心为点C)”.因为“圆C”中的C指的是曲线(即圆)而不是点(即圆心).

题19(2018年高考江苏卷第14题)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为______．

商榷建议把题中的“{x|x=2n-1,n∈N*}”改为“{2n-1|n∈N*}”，“{x|x=2n,n∈N*}”改为“{2n|n∈N*}”，“记Sn为数列{an}的前n项和”改为“记Sm为数列{an}的前m项和”.

前两处改动的目的是简洁(数学的表述应当尽可能简洁)，对第三处改动的原因说明如下：

题中的叙述“记Sn为数列{an}的前n项和”很流行(教材也是这样叙述的)，但这里三个“n”含义不同：

第一个“n”和第三个“n”的含义相同(表示同一个数或同一个变量)，但它们与第三个“n”的含义不同：“{an}”中的“n”指数列{an}的第n项(即通项)an中的变量；即使第一个“n”和第三个“n”均表示同一个变量时，与“{an}”中的变量“n”含义也不同(可取不同的值).

因而，第三处的改动是必须的(同一句话中的三个“n”表示的含义不全相同，是多么的匪夷所思呀).也建议这种流行的错误叙述(包括教材)尽早更改过来.

题20(2018年高考江苏卷第20题)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列．

(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围；