打破常规教“因数与倍数”

陆耀成

[摘 要]因数与倍数是一对相互依存的概念，两者既有相关性，又有区别，所以教学“因数与倍数”时，必须同步推进。在借助乘法算式诠释两者关系时，由于“因数”一词具有多义性，容易与乘法算式里的“乘数”相混淆，因此教师要深入研读教材，打破“因数与倍数”的常规教学模式，帮助学生厘清两者的关系。

[关键词]因数；倍数；打破常规

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）29-0033-01

對于“因数与倍数”的教学，教师常存在两点疑问：第一，如何导入因数与倍数的概念？第二，如何很好地区别“乘数”与“因数”、最小因数和最大因数？为了解决疑问，笔者进行了如下教学操作。

一、研究：对比各版教材

大纲版、实验版和课标版三个版本的教材将因数和倍数内容都安排在五年级下册，但引入方式有别。大纲版依托于“整除”概念，在呈现整除和非整除算式后，提出因数和倍数概念：a 除以b（b≠0）的商为整数，就说a能被b 整除。此时，a就称为b的倍数，b就称为a的因数。这样的表述佶屈聱牙，弄得学生晕头转向，就连教师也要再三思量。于是，实验版教材删去了“整除”的概念，在开门见山地出示算式“2×6=12” 和“[3×4=12]”后，直截了当地提出了“2、3、4、6都是12的因数，12 是它们的倍数”。这样表述简洁明了，但利用乘法算式揭示，非常容易与“因数×因数=积”中的“因数”概念混淆，尽管事后申明“这里的因数必须是整数，不包括0”，但仍会引起误解，“所有乘法算式中的被乘数和乘数都叫作因数（约数）”，于是像“2.5×2=5”“3.2×4 =12.8”这样的算式也归入因数和倍数之列。

课标版教材对此做的改动是，由除法引入，从各类情境中提炼出多种除法算式，分成“整除”和“非整除”两类；只要求学生学会分辨两个数的因倍数关系；重申因倍数间的依存对应关系；删去“整除”一词，用“商必须是整数”取代。

二、设计：两段简约教学

基于以上对比，设计如下教学预设和教学过程。

【预设一】按商是否为整数分类。带余除法：15÷7=2……1；10÷3=3……1。无余数除法：8÷2=4；30÷15=2；8÷5=1.6；21÷21=1；26÷8=3.25。

【争论】商如果为小数，算入哪一类？

【预设二】按得数是否全部为整数分类。

结果是整数的：14÷2=7；31÷7=4……3；30÷15=2；10÷3=3……1。结果并非整数的：12÷5=2.4；10÷8=1.25。

【争论】“商4余3”和“商3余 1”该归入哪一类？

1.开门见山，新角度切入。首先开门见山地导入，直奔主题：“自然数之间存在着分解与合并的有趣关系，许多自然数都能分解成两数相乘的形式，有的还有多种分法。那么18可以分成哪两个数相乘的形式呢？”学生轻易就列出算式：18=3×6，18=2×9，18=1×18。接着，推出因倍数的定义，并点明它们之间的对应关系及讨论范围。

在这一环节中，“18=（ ）×（ ）” 的引入形式明显优于单纯的算式引入，也照应了后来的分解质因数。而由于一开始就强调取值范围，就排除了出现小数的情况。

2.充分练习，得心应手。待学生找齐12的因数后，继续引导学生检索其他数字的因数，如从13 到 50（若时间充裕，可将检索范围扩大至100以内的所有数）。然后，让学生谈方法和体会。比如：并不是数字越大因数越多；有的整数没有常规因数；因数不会比原数大；任何数都有因数1和它本身；等等。待学生畅所欲言后，教师再查漏补缺。

新课标要求“能找100以内任意一个自然数的所有因数”。 如何才能满足这一要求？让学生接受大数据的“磨炼“是必要的，但题目的形式要富有趣味，比如：在100以内，拥有最多因数的是哪个数字？这样可激发学生的思考热情（因数至多可以达到12个，这样的自然数有60、72、84、90 和 96），让学生学会熟练地找出任意数的所有因数，为后续的乘除法口算、质合数判别、分解质因数夯实了基础。对于倍数的练习也同样如此，数据主要集中在乘法口诀表之外的一位数乘法和十位为1的两位数乘法（积在100以内）。

三、感悟：打破常规教数学

综上可知，教师对教材的理解不能止于浅表，更不能被教材捆住手脚。教师应活用教材，打破常规教数学。

新课标提到，理解和钻研教材，应严格遵照新课标要求，把握好教材主旨和教学内容的教育价值，如果要对教材进行二度创造，需要做到：能根据学生的实际情况，选择切实的素材和可操作性强的流程，精准体现基本理念和课程内容。除此之外，教师还需有扎实的专业知识和独到的个人见解。总之，只有不肯墨守成规、因循守旧的教师才有机会冲破藩篱、标新立异。

（责编 童 夏）