探究“兔子数列”提升数学能力

倪丽君

[摘 要]在解决问题过程中，教师一般根据问题类型进行模式教学，而建模的过程中，能力的培养则是数学教学的重点。以斐波那契数列的教学为例，通过外在的操作活动，培养学生的数学应用能力，让学生经历从形象到抽象的数学思维过程，在化繁为简、数形结合、图表分析、概括归纳的建模过程中，渗透数形结合和归纳推理的数学思想。

[关键词]斐波那契数列；解决问题；图示化；符号化；数字化；模式化

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）29-0010-03

斐波那契数列是人教版旧教材二年级下册“规律的认识”中的内容，而斐波那契的生平和兔子问题的探索则是在课外阅读资料中呈现。本节拓展课综合了两个内容，从数学知识的学习和数列的规律发现上来讲，对四年级学生来说不存在难度，但如何依托学习材料，让学生在掌握知识的同时提升解决问题的素养则是本节课更进一步的追求，尤其是对学生今后的学习和探索能力的培养。因此，让学生经历化繁为简、数形结合、图表分析、概括归纳的过程，感受解决问题的数学思维方法，提高学生的数学素养就成为本课教学的素养目标。

教学斐波那契数列时主要采用了微课题的形式，具体过程如下。

一、研究有趣问题，探索数列规律

1.复杂问题图示化

【设计意图】通过呈现有趣又较复杂的学习材料，激发学生学习兴趣，但材料较多，学生理解困难，故首先梳理图片，从抽象思维回归形象思维，用图像表征的方式帮助学生更好地理解题意；通过“猜一猜”活动，培养学生的数感，激发学生探究数学问题的内驱力。

师：今天，我们要研究一个数学问题，它有一个有趣的名字，叫“兔子数列”。很久以前，有一个意大利人发现了一对神奇的兔子，这对是刚出生的小兔，一个月后能长成一对大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且以后每个月都生一对小兔。一年内没有死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？

师：你理解题目的主要意思吗？

生1：①小兔一个月后能长成一对大兔；②大兔过一个月便能生下一对小兔；③以后每个月都生一对小兔；④一年内没有死亡。

师：让我们再来梳理一遍。（投影图片，学生说，教师摆）

第一个月 第二个月 第三个月

师：大家想一想，第四个月会有几对兔子？几对大兔和几对小兔？

生2：三对兔子。两对大兔和一对小兔。

师：怎么变化来的？

生3：原来的小兔长成了大兔，原来的大兔还在，并且又生了一对小兔。

师摆图：

第四个月

师： 12个月后一共会有几对兔子呢？

生4：11对。因为4个月是3对，所以12个月就是11对。

生5：19对。因为4个月有2对大兔，所以以后每个月小兔会2对2对地增加，那么后面还要增加2×8=16（对），所以一共有16+3=19（对）。

生6：96对。

……

2.初步探究符号化

【设计意图】让学生感受摆图片太麻烦，想到用简洁的图示表示兔子的变化过程，帮助学生建立符号意识。通过对几种不同方法的分析，让学生自己能辨析并提炼最优方案。

师：图片摆不起了，有什么方法继续来探究这个问题呢？

生1：可以写数字。

生2：可以画符号。

生3：可以写字记录。

……

師：请你用自己喜欢的方式记录上面4个月的兔子数量的变化过程。

第五种：

第六种：

生4：第一、三、四种中，一个图示符号代表一只小兔，要求几对，还要再除以2，不够简洁；第二种用文字表示也可以，就是麻烦一点；而第五和第六种方法一样，它们图示简洁、容易理解，尤其是第六种，写清楚了符号代表的意义，更为清楚。因此第六种最佳。

3.感悟探究数字化

【设计意图】学生找到自认为简洁的方法去解决问题，在想想画画的过程中感受到规律的存在，但在深入画图的过程中发现“太麻烦”的心理状态，能促使学生产生强烈的寻求更加简洁的方式来解决问题的欲望，这样一来，图标数据的收集和分析就变成学生学习的自然需要。

生1：越画越多，数起来太麻烦了！

生2：画符号还是很麻烦的。能不能再简洁一点？

……

师：是的，现在用符号表示也不是很方便，有没有更好的途径？

生3：用数字来记录不是更好吗？

师：生3用数字来记录，能又快又清楚地知道大兔和小兔的只数。下面我们就试试填表格，用数字来记录小兔的数量变化过程。

4.数形结合表格化

【设计意图】让学生通过简洁的填写表格的方式收集和统计数据，并能够在合作交流过程中发现规律。

师：四人小组合作，填表后交流，说说你们发现了什么。完成后集体议一议。

第一种：未完成，且有错误。

生1（自评）：第5个月开始发生错误。因为前一个月2对大兔可生2对小兔。关键在于理解题目有误，以为每个月只有当初那对大兔在生小兔。

第二种：正确，且已发现了规律。

生2：斜着看是一样的。前一个月的大兔对数就是后一个月的小兔对数。

师：为什么？（用笔标注，见上图）

生3：因为一个月一对大兔就能生一对小兔。

生4：我发现斜着看还有规律：前一个月大兔和小兔的总对数就是后一个月的大兔对数。

师：那是为什么？

生5：因为前一个月有几对小兔，到后一个月都长成大兔了。

生6：我横着看，发现前两个月的兔子总对数就是后一个月的兔子总对数。

归纳得出：上个月大兔对数 = 下个月小兔对数

上个月兔子总对数= 下个月大兔对数

前两个月兔子总对数 = 后一个月兔子总对数

师：由此我们可以得出，12个月后有144对兔子。144对大大小小的兔子，一个庞大的兔子王国就是由那对小兔发展来的，怎么样，是不是很有趣？这就是历史上有名的“兔子数列”。

5.小结提升模式化

师：现在请回想一下，解决这样一个复杂问题，我们经历了怎样的学习过程？（板书：复杂问题——简洁图示——列表观察——找到规律）以后大家也可以用这样的方法去解决生活中的难题。

二、了解数学文化，解析自然现象

1.简介斐波那契数列

【设计意图】学习数学，不仅仅是数学知识，要让学生更加喜欢数学，就有必要让他们了解数学文化，了解数学知识的背景。“兔子数列”只是通俗的说法，而以数学家的姓名命名这个发现，更会让学生感受到数学来自于生活，学会用数学的眼光去看待生活。

师：这个“兔子数列”是意大利数学家斐波那契在1202年从兔子的繁殖过程中发现的。为了纪念他，人们把这个数列称为斐波那契数列。这个数列有什么特征呢？让我们来读一读。“一个数列，如果前两项为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么我们就把这样的数列称为斐波那契数列。”这也正是我们刚才的发现。看来我们的发现和数学家的发现思路几乎是一样的。在这个数列中，有很多很多的数， 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……它的第一项是什么？最后一项是什么？对，没有最后一项，因为自然数是无限的，所以斐波那契数列自然也没有最后一项。

师：看似简单的斐波那契数列包含了太多的奥秘，承载了无数的神奇。老师在研究的过程中发现了许多和斐波那契数列相关的有趣现象，现在和大家一起分享。

2.感受数学与自然现象的有趣存在

【设计意图】看图片欣赏大自然中的松果、向日葵等，通过数一数、分一分、画一画，感受花瓣数、枝条数、螺旋线数量等，丰富学生的认识，引导学生感受大自然的神奇，激发学生学习的兴趣。

师：马蹄莲—1瓣；虎刺梅—2瓣；钱兰—3瓣；桃花—5瓣；格桑花—8瓣；其他雏菊有13瓣、21瓣、34瓣等。这些数都和斐波那契数列中出现的数一模一样。当我收集到这种数时，不禁嘖啧称奇：是谁让它们有着如此惊人的规律？是呀，大自然太神奇了！

师：松果与斐波那契数又有什么关系呢？数学家发现松果的两种螺旋线条数正好是斐波那契数列中的数，还有向日葵也是，在自然界中，据说选择这样的模式生长的向日葵，花盘上的种子分布最有效，花盘也最坚实，产生后代的概率也最高。在自然界中像这样神奇的现象还有很多，有待我们去探索和发现。

三、反思学习经历，分享学习收获

师：今天的课，你有什么新的收获？先和同桌分享，然后我们共享你的收获。

【课后反思】

学会从数学的角度去观察事物、思考问题，从而解决问题是培养学生数学素养的目标之一。本节课中，数学材料的呈现从复杂到逐步清晰，用图像表征的方式帮助学生更好地理解题意，在渗透数形结合思想的同时激发学生进一步探索的欲望。学生的学习应是一个主动建构知识的过程，教师应为学生自主探究提供充分的时间和空间。在材料呈现、图示理解、符号表征、列表求解的过程中，都是学生先找到了解决问题的支点，如独立尝试，用自己喜欢的方式表示兔子数量的变化，通过比较选择最优的表达方式；在继续画下去的过程中，发现图示还是不够简洁，于是找到利用表格解决问题这个简洁有效的办法，从而发现规律的存在。在经历问题解决的整个过程中，学生思维得以充分地暴露，解决问题的策略也在逐步改进，学生的数学素养也在不断地提升。教学过程注重数学思想的渗透、关注解决问题素养的提升，大胆开放探索空间，实现了学生数学学习的“再创造”，课堂教学也达成了预设的目标。

（责编 童 夏）