试论L可测集的充要条件

摘 要：本文首先引入了外测度、可测集、Gδ型集、Fσ型集的定义，然后总结和归纳了L可测集的充要条件。

关键词：外测度；可测集；充要条件

一、 预备知识

定义1 设ERn，对每一列覆盖E的开区间∪∞i=1IiE，作出它的体积和μ=∑∞i=1|Ii|，所有这一切的μ组成一个下方有界的数集，其下确界称为E的勒贝格外测度，简称L外测度或外测度，记为m*E，即，m*E=infE∪∞i=1Ii∑∞i=1|Ii|。

定义2 设ERn，如果对任意点集T都有m*T=m*（T∩E）+m*（T∩Ec），则称E是L可测的，记为mE。上述等式称为卡拉西奥多利（Caratheodory）条件，可测集全体记为μ。

勒贝格最初是用内、外测度给出L可测集的定义，即，设E为Rn中的有界集，I为任一包含E的开区间，记m*E=|I|-m*（I-E），称为E的内测度，如果m*E=m*E，则称E是L可测的；又设E为Rn中的无界集，如果对任意开区间I，有界集I∩E都是L可测的，则称E是L可测的。点集内、外测度的直观意义相当于用圆的内接多边形面积与外切多边形面積来近似圆的面积，虽然比较真实自然，但要使用两个概念，还要区别有界集与无界集，讨论问题常常不太方便。卡拉西奥多利条件是一个较为简洁的等价条件。对Rn中的点集E，E可测相当于它能够分割测量任何点集T的外测度。E把T分割为T∩E与T∩Ec，则其并集的外测度等于这两个点集的外测度之和。

定义3 若集合G可表示为一列开集{Gi}的交：G=∩∞i=1Gi，则称G为Gδ型集。

定义4 若集合F可表示为一列闭集{Fi}的和：F=∪∞i=1Fi，则称F为Fσ型集。

二、 可测集的充要条件

根据上述定义，我们归纳总结出可测集的充要条件。

定理1 设ERn，则：

（1）E可测的充要条件是Ec可测；

（2）E可测的充要条件是对任意的AE，BEc总有m*（A∪B）=m*A+m*B；

（3）E可测的充要条件是对任意的ε>0，存在开集GE，使得m*（G-E）<ε；

（4）E可测的充要条件是对任意的ε>0，存在闭集FE，使得m*（E-F）<ε；

（5）E可测的充要条件是对任意的ε>0，存在开集G和闭集F，使得GEF且m（G-F）<ε；

（6）E可测的充要条件是存在Gδ型集GE，使得m（G-E）=0；

（7）E可测的充要条件是存在Fσ型集FE，使得m（E-F）=0；

（8）E可测的充要条件是存在Gδ型集G和Fσ型集F，使得GEF且m（G-F）=0。

注 由定理1可知任何可测集可以表示成一个Gδ型集和一个零测集差集，或者一个Fσ型集和一个零测集的并集。因此只要有了全部的Gδ型集或Fσ型集（它们只是Borel集的一部分）和全部的零测集，那么一切L可测集均可获得。该定理说明了L可测集和Borel集之间的关系。但是不能认为这两类集族是等同的，因为确实存在不是Borel集的可测集，所以Borel集是L可测集的真子集。

定理2 设ERn为有界集，则E可测的充要条件是inf{mG：G是开集，EG}=sup{mF：F是闭集，FE}。

证明：必要性。由E可测和定理1（3）（4）可得对任意 ε>0，存在开集G和闭集F，使得GEF且m（E-F）<ε。因此mG=mE+m（G-E）mE-ε。由确界定义，inf{mG：G是开集，EG}=mE=sup{mF：F是闭集，FE}。

充分性。对任意开集GE和闭集FE，由外测度性质可得mF≤m*E≤mG。则sup{mF：F是闭集，FE}≤m*E≤inf{mG：G是开集，EG}。又由（1）可得sup{mF：F是闭集，FE}=m*E=inf{mG：G是开集，EG}。由确界定义，对任意ε>0，存在开集GE使得mG

参考文献：

[1]程其襄，张奠宇等.实变函数与泛函分析基础[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]周民强.实变函数论[M].2版.北京：北京大学出版社，2008.

[3]孙清华，孙昊.实变函数内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2004.

作者简介：

叶一蔚，重庆市，重庆师范大学。