关于表示直向代数的Hall李代数的一个注记

贺加来,戈慈水



关于表示直向代数的Hall李代数的一个注记

贺加来1,戈慈水2

1. 合肥职业技术学院基础教育学院, 安徽 合肥 238000 2. 安徽建筑大学数理学院, 安徽 合肥 230000

设是有限域F上的有限维代数，()是以不可分解-模的同构类为基的自由Abel群。通过应用Gabriel--Roiter-测度，我们证明如果是表示直向的基本代数，则()作为基环/(1)上的李代数由单-模的同构类生成。

表示直向代数; Gabriel--Roiter-测度; Hall李代数

设是有限域=F上的有限维代数,-模为有限维,对于任意三个-模,和,令

Ringel证明了Ringel--Hall代数是一个有单位元的结合代数[1,2].

设()是以不可分解-模的同构类为基的自由Abel群,则()是()的子群.由文献[3]知,在基环/(-1)上()是()的李子代数,其李代数的乘法定义为:[[],[]]:=[][]-[][].

定义()-1:=()/(-1)(),()-1:=()/(-1)(),则()-1是()-1的李子代数,称()-1的由单-模的同构类生成的李子代数()-1为的合成李子代数.当是非野型的遗传代数时,文献[4]对()-1有一些研究.

设是任意一个域,称-代数是基本的,如果每一个单-模的自同态代数均是基域,称有限维-代数是表示直向的,如果在同构的意义下仅有有限个不可分解-模,记为:1,2,…,M,且这个-模可定义一个排序，使得对任意的>,有Hom(M,M)=0.Dynkin型箭图的路代数是表示直向的基本代数.

在本文中,通过应用Gabriel--Roiter-测度的性质,我们证明如果是表示直向的基本-代数,则()-1与()-1相同.如果是Dynkin型箭图的路代数,则李代数()-1系数扩充到复数域上后得到的李代数()-1与+同构,其中+是的底图所对应的复半单李代数的正部分.在下文,记()-1系数扩充到复数域上后得到的李代数为()-1.

1 定理

如果是表示直向的基本-代数,则()-1=()-1.而且,存在李代数满同态+®()-1.

特别地，如果是Dynkin型箭图的路代数，则()-1与+李代数同构。

该定理是对表示有限型遗传代数中相应结果的推广。

2 定理的证明

2.1 一些已知的结论或性质

设是一个-代数.根据文献[5],我们可对有限维-模的维数进行归纳来定义有限维-模的Gabriel--Roiter-测度().定义零模的Gabriel--Roiter-测度(0)为零.给定一个维的非零-模,假设的每一个真子模'的Gabriel--Roiter-测度(')已定义.

设是任一维的不可分解-模,若不是单-模,则存在的不可分解子模',使得()=(')+2-n.称此子模'为模的一个Gabriel--Roiter-子模.Ringel在文献[6]中证明了/'也是不可分解的.注意到,如果是不可分解-模的Gabriel--Roiter-子模,:®是任一单的-模同态,那么Im()也是的一个Gabriel--Roiter-子模,从而Coker是不可分解的.

设是表示直向的基本-代数,,,是三个不可分解-模,是的一个Gabriel--Roiter-子模.由文献[7]知,短正合列0®®®®0是一种特殊的Schofield序列,于是,以Hall乘法的形式可以获得[][]=[]+[Å],[][]=[Å],从而,[]可表示为[]=[][]-[][]=[[],[]].

在此基础上可以获得相应的引理[8],设是有限维的基本-代数，满足对任意的Î,c=2.则在()-1中对任意的,Î,(adu)1-cij(u)=0.

2.2 定理的证明

设是任一不可分解非单的A-模,是的一个Gabriel--Roiter-子模,我们有

[]=[/][]-[][/]=[[/],[]]

则,/都是不可分解-模.如果或/不是单模,继续上面的过程,将其表示为两个不可分解模的李乘.依此类推,[]可表示为单模的同构类的李乘,因此,()-1Í()-1.另一方面,显然()-1Í()-1.所以,()-1=()-1.由引理2.1知,存在李代数满同态+®()-1.因此,存在李代数满同态+®()-1.

特别地,如果是Dynkin型箭图的路代数，则可通过比较维数得+®()-1是李代数同构,从而()-1与+李代数同构,证毕.

其中所证明的定理体现了Gabriel--Roiter-测度理论与Hall理论的联系.

3 相关的实例

令=是在有限域=F上的路代数,=/,其中是的由生成的理想。对的每一个顶点,1≤≤3,记对应的一维的单-模为S,用P,I分别表示S的投射盖与内射包.那么,{1=3,2,3=3,1=1,2,2}是所有互不同构的不可分解-模.众所周知,()-1=()-1=()-1,且有李代数同构+@()-1,易知,1=3是唯一的不能被理想零化的不可分解-模.所以,{2,3=3,1=1,2,2}是所有互不同构的不可分解有限维-模.显然,[[1],[2]]=[2],[[2],[3]]=[2],能够得到()-1=()-1.通过简单的计算,我们有[1]=[[1],[[2],[3]]],因此,()-1@()-1/á[[1],[[2],[3]]]ñ@+/á[1,[2,3]]ñ,这里的每个e是+的标准生成元.

[1] Ringel C. Hall algebras and quantum groups[J]. Invent. Math., 1990,101:583-592

[2] Ringel C. Hall polynomials for the representation-finite hereditary algebras[J]. Adv. Math., 1990,8(4):137-178

[3] Ringel C. Lie algebras arising in representation theory[J]. London Math. Soc., Lecture Note Ser., 1992,16(8):284-291

[4] Green E, Zhang P. Rigids as iterated skew commutators of simples[J]. Algebras and Representation Theory, 2006,9(6):539-555

[5] Gabriel P. Indecomposable representations II[M]. In: Symposia Mathematica. London:Academic Press, 1973,XI(4):81-104

[6] Ringel C. The Gabriel-Roiter measure[J]. Bull. Sci. Math., 2005,12(9):726-748

[7] Ringel C. The theorem of Bo Chen and Hall polynomials[J]. Nagoya Math. J., 2006,183:143-160

[8] Chen J, Deng B. Fundamental relations in Ringel-Hall algebras[J]. J. Algebra, 2008,32(6):1133-1149

A Note on Hall Lie Algebras in regard to Directed Algebras

HE Jia-lai1, GE Ci-shui2

1.238000,2.230000,

Letbe a finite dimensional algebra over a finite fieldF, and denote by() the free Abel group with basis the isomorphism classes of indecomposable-modules. By using the Gabriel--Roiter measure we prove that() as Lie algebra over the ground ring/(1) is generated by the isomorphism classes of simple-modules, ifis a representation directed elementary algebra.

Representation directed algebra; Gabriel-Roiter measure; Hall Lie algebra

O154.1

A

1000-2324(2018)05-0900-02

10.3969/j.issn.1000-2324.2018.05.036

2017-06-10

2017-08-21

安徽省重大教学研究项目(2017jyxm0672)

贺加来(1965-),男,硕士,副教授,主要从事高等数学教学研究. E-mail:chzyhjl@126.com